《2025年高效精练八年级数学上册苏科版》

7. 如图,在△ABC中,D是BC边上的点(不与B,C重合),F,E分别是AD及其延长线上的点,CF//BE.请你添加一个条件,使△BDE≌△CDF(不再添加其他线段,不再标注或使用其他字母),并给出证明.
(1) 你添加的条件是$BD = CD$ (或点 $D$ 是线段 $BC$ 的中点) 或 $FD = ED$ 或 $CF = BE$.
(2) 证明:
∵ CF// BE, ∴ ∠FCD = ∠EBD. 在 △BDE 与 △CDF 中，$\begin{cases}∠EBD = ∠FCD \\ BD = CD \\ ∠EDB = ∠FDC \end{cases}$，∴ △BDE ≌ △CDF (ASA).

答案：
(1) $BD = CD$ (或点 $D$ 是线段 $BC$ 的中点) 或 $FD = ED$ 或 $CF = BE$
(2) 以 $BD = CD$ 为例证明：$∵ CF// BE, ∴ ∠FCD = ∠EBD$. 在 $△BDE$ 与 $△CDF$ 中，$\begin{cases}∠EBD = ∠FCD \\ BD = CD \\ ∠EDB = ∠FDC \end{cases}$，$∴ △BDE ≌ △CDF (ASA)$.

8. (2023·营口)如图,点A,B,C,D在同一条直线上,点E,F分别在直线AB的两侧,且AE=BF,∠A=∠B,∠ACE=∠BDF.
(1) 求证:△ACE≌△BDF;
证明：在△ACE和△BDF中，$\begin{cases}∠A = ∠B \\ ∠ACE = ∠BDF \\ AE = BF \end{cases}$，∴△ACE≌△BDF(AAS);
(2) 若AB=8,AC=2,求CD的长.
由(1)知△ACE≌△BDF，∴BD=AC=2.∵AB=8，∴CD=AB-AC-BD=4，故CD的长为4.

答案：
(1) 证明：在 $△ACE$ 和 $△BDF$ 中，$\begin{cases}∠A = ∠B \\ ∠ACE = ∠BDF \\ AE = BF \end{cases}$，$∴ △ACE ≌ △BDF (AAS)$；
(2) 由
(1) 知 $△ACE ≌ △BDF$，$∴ BD = AC = 2$. $∵ AB = 8$，$∴ CD = AB - AC - BD = 4$，故 $CD$ 的长为 4.

9. 已知点E,F在线段BD上,BF=DE,点A,C在线段BD的两侧且AB=CD,AE=CF,连接AC交BD于点O.求证:AO=CO.
证明：∵ BF = DE, ∴ BF - EF = DE - EF，即 BE = DF，在 △ABE 与 △CDF 中 $\begin{cases}AB = CD \\ AE = CF \\ BE = DF \end{cases}$，∴ △ABE ≌ △CDF (SSS)，∴ ∠B = ∠D，在 △ABO 与 △CDO 中 $\begin{cases}∠B = ∠D \\ ∠AOB = ∠COD \\ AB = CD \end{cases}$，∴ △ABO ≌ △CDO (AAS)，∴ AO = CO.

答案： 证明：$∵ BF = DE, ∴ BF - EF = DE - EF$，即 $BE = DF$，在 $△ABE$ 与 $△CDF$ 中 $\begin{cases}AB = CD \\ AE = CF \\ BE = DF \end{cases}$，$∴ △ABE ≌ △CDF (SSS)$，$∴ ∠B = ∠D$，在 $△ABO$ 与 $△CDO$ 中 $\begin{cases}∠B = ∠D \\ ∠AOB = ∠COD \\ AB = CD \end{cases}$，$∴ △ABO ≌ △CDO (AAS)$，$∴ AO = CO$.