《2025年高效精练八年级数学上册苏科版》

15. (2024秋·宜兴市期末)如图,$△ABC$中,D为 BC 的中点,$DE⊥BC$交$∠BAC$的平分线于 E,$EF⊥AB$,交 AB 于 F,$EG⊥AC$,交 AC 的延长线于 G,试问:BF 与 CG 的大小如何? 证明你的结论.

相等.证明如下:连接EB,EC,∵AE 是∠BAC的平分线,且EF⊥AB于F,EG⊥AC于G,∴EF=EG.∵ED⊥BC于D,D是BC的中点，∴EB=EC.在Rt△EFB和Rt△EGC中,{EB=EC,EF=EG,}∴Rt△EFB≌Rt△EGC(HL),∴BF=CG.

答案： 相等.证明如下:连接EB,EC,
∵AE 是∠BAC的平分线,且EF⊥AB于F,EG⊥AC于G,
∴EF=EG.
∵ED⊥BC于D,D是BC的中点，
∴EB=EC.在Rt△EFB和Rt△EGC中,{EB=EC,EF=EG,}
∴Rt△EFB≌Rt△EGC(HL),
∴BF=CG.

16. (2025春·城关区阶段考)如图:在$△ABC$中,$∠C=90^{\circ }$,AD是$∠BAC$的平分线,$DE⊥AB$于 E,F 在 AC 上,$BD=DF$,证明:
(1) $CF=EB$;
证明:(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB,DC⊥AC,∴DE=DC.在Rt△CDF和Rt△EDB中,{DF=BD,DC=DE,}∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL),∴CF=EB;
(2) $AB=AF+2EB$.
证明:(2)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB,DC⊥AC,∴CD=DE.在Rt△ADC与Rt△ADE中,{CD=ED,AD=AD,}∴Rt△ADC≌Rt△ADE(HL),∴AC=AE,∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB.

答案： 证明:
(1)
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB,DC⊥AC,
∴DE=DC.在Rt△CDF和Rt△EDB中,{DF=BD,DC=DE,}
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL),
∴CF=EB;
(2)
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB,DC⊥AC,
∴CD=DE.在Rt△ADC与Rt△ADE中,{CD=ED,AD=AD,}
∴Rt△ADC≌Rt△ADE(HL),
∴AC=AE,
∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB.

17. (2025春·新郑市阶段考)【新情境】
图 1 是一个平分角的仪器,其中$OD=OE,FD=FE$.
(1) 如图 2,将仪器放置在$△ABC$上,使点 O 与顶点 A 重合,D,E 分别在边 AB,AC 上,沿 AF 画一条射线 AP,交 BC 于点 P. AP 是$∠BAC$的平分线吗? 请判断并说明理由;
AP是∠BAC的平分线,理由如下:如图1,在△ADF和△AEF中,{AD=AE,AF=AF,DF=EF,}∴△ADF≌△AEF(SSS),∴∠DAF=∠EAF,∴AP平分∠BAC
(2) 如图 3,在(1)的条件下,过点 P 作$PQ⊥AB$于点 Q,若$PQ=4,AC=6$,求$△APC$的面积.
如图2,过点P作PM⊥AC于点M,∵AP平分∠BAC,PQ⊥AB,∴PM=PQ=4,∴S△APC=$\frac{1}{2}$AC·PM=$\frac{1}{2}$×6×4=12

答案：
(1)AP是∠BAC的平分线,理由如下:如图1,在△ADF和△AEF中,{AD=AE,AF=AF,DF=EF,}
∴△ADF≌△AEF(SSS),
∴∠DAF=∠EAF,
∴AP平分∠BAC;
(2)如图2,过点P作PM⊥AC于点M,
∵AP平分∠BAC,PQ⊥AB,
∴PM=PQ=4,
∴S△APC=$\frac{1}{2}$AC·PM=$\frac{1}{2}$×6×4=12.