《2025年高效精练八年级数学上册苏科版》

7. (2024秋·苏州期末)勾股定理是数学史上的一颗璀璨明珠.被誉为清代“历算第一名家”的著名数学家梅文鼎先生(图1)在《梅氏丛书辑要》(由其孙子梅毂成编纂)的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法.其中一种是在图2的基础上,运用“出入相补”原理完成的.在△ABC中,∠ACB=90°,四边形ABDE,ACFG,BCHI均为正方形,HI与AE相交于点J,可以证明点D在直线HI上.若△AHJ,△DEJ的面积分别为2和6,求直角边AC的长.

2

答案：
∵四边形ABDE，BCHI为正方形，
∴AB=BD，BC=BI，∠ACB=∠DIB=90°，
∴Rt△ABC≌Rt△DBI(HL)，
∴S△ABC=S△DBI，设AC=a，BC=b，AB=c，由勾股定理得，$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，即S正方形ACFG+S正方形BCHI=S正方形ABDE，S正方形ACFG+S△ABC+S△AHJ+S四边形AJIB=S△BID+S△DEJ+S四边形AJIB，
∴S正方形ACFG+S△AHJ=S△DEJ，
∴S正方形ACFG=S△DEJ - S△AHJ=6 - 2=4，
∴$a^{2}=4$，
∴a = 2（负值舍去），即AC = 2．

8. (2023·天津)如图,在△ABC中,分别以点A和点C为圆心,大于$\frac{1}{2}AC$的长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等),两弧相交于M,N两点,直线MN分别与边BC,AC相交于点D,E,连接AD.若BD=DC,AE=4,AD=5,则AB的长为 (D)

A. 9
B. 8
C. 7
D. 6

答案： D

9. (2025春·香坊区阶段考)如图所示的数轴,点M表示的数是______$\sqrt{17}$.

答案： $\sqrt{17}$

10. (2023·郴州)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点M是AB的中点,求CM=5.

答案： 5

11. (2025·汇川区模拟)如图,Rt△ABC中,AC=6,BC=8,则其内部五个小直角三角形的周长之和为______24.

答案： 24

12. (2025春·长沙期中)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=12,BC=5,在AC上截取CD=CB,在AB上截取AP=AD,则AP=8.

答案： 8

13. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm,CD⊥AB于点D.求:
(1) AC的长为4cm;
(2) △ABC的面积为6cm²;
(3) CD的长为$\frac{12}{5}$cm.

答案： （1）求$AC$的长：
解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，根据勾股定理$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$。
已知$AB = 5cm$，$BC = 3cm$，则$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}$。
把$AB = 5$，$BC = 3$代入可得：$AC=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=\sqrt{25 - 9}=\sqrt{16}=4(cm)$。
（2）求$\triangle ABC$的面积：
解：根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），在$Rt\triangle ABC$中，$BC$可看作底，$AC$可看作高。
则$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC$。
把$AC = 4cm$，$BC = 3cm$代入可得：$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×4×3 = 6(cm^{2})$。
（3）求$CD$的长：
解：因为$CD\perp AB$，所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× AB× CD$。
又因为$S_{\triangle ABC}=6cm^{2}$，$AB = 5cm$，由$\frac{1}{2}× AB× CD=S_{\triangle ABC}$可得$CD=\frac{2S_{\triangle ABC}}{AB}$。
把$S_{\triangle ABC}=6$，$AB = 5$代入可得：$CD=\frac{2×6}{5}=\frac{12}{5}=2.4(cm)$。
综上，（1）$AC$的长为$4cm$；（2）$\triangle ABC$的面积为$6cm^{2}$；（3）$CD$的长为$2.4cm$。