《2025年高效精练八年级数学上册苏科版》

13. (2023 秋·川汇区期中)已知:$△ACB$和$△DCE$都是等腰直角三角形,$∠ACB=∠DCE=90^{\circ }$,连接 BD,AE 交于点 O,AE 与 CD 交于点 M,AC 与 BD 交于点 N.
(1) 如图 1,求证:$AE=BD$;
$\because \triangle ACB$和$\triangle DCE$都是等腰直角三角形，$\angle ACB = \angle DCE = 90^{\circ}$，$\therefore AC = BC,DC = EC,\therefore \angle ACB + \angle ACD = \angle DCE + \angle ACD,\therefore \angle BCD = \angle ACE$，在$\triangle ACE$与$\triangle BCD$中，$\left\{\begin{array}{l} AC = BC,\\ \angle ACE = \angle BCD,\\ CE = CD,\end{array}\right. \therefore \triangle ACE\cong \triangle BCD(SAS)$，$\therefore AE = BD$
(2) 如图 2,若$AC=EC$,不添加辅助线,请你直接写出三对全等的三角形.
$\triangle ACB\cong \triangle DCE,\triangle ACE\cong \triangle DCB,\triangle MCE\cong \triangle NCB$

答案：
(1) $\because \triangle ACB$和$\triangle DCE$都是等腰直角三角形，$\angle ACB = \angle DCE = 90^{\circ}$，$\therefore AC = BC,DC = EC,\therefore \angle ACB + \angle ACD = \angle DCE + \angle ACD,\therefore \angle BCD = \angle ACE$，在$\triangle ACE$与$\triangle BCD$中，$\left\{\begin{array}{l} AC = BC,\\ \angle ACE = \angle BCD,\\ CE = CD,\end{array}\right. \therefore \triangle ACE\cong \triangle BCD(SAS)$，$\therefore AE = BD$；
(2) $\triangle ACB\cong \triangle DCE,\triangle ACE\cong \triangle DCB,\triangle MCE\cong \triangle NCB$，理由如下：$\because AC = EC,\therefore AC = CD = EC = CB$。$\because \angle ACB = \angle DCE,\therefore \triangle ACB\cong \triangle DCE(SAS)$；在$\triangle ACE$与$\triangle DCB$中，$\left\{\begin{array}{l} AC = DC,\\ \angle ACE = \angle DCB,\\ CE = CB,\end{array}\right. \therefore \triangle ACE\cong \triangle DCB(SAS)$，在$\triangle MCE$与$\triangle NCB$中，$\left\{\begin{array}{l} \angle MEC = \angle NBC,\\ CE = CB,\\ \angle MCE = \angle NCB,\end{array}\right. \therefore \triangle MCE\cong \triangle NCB(ASA)$。

14. (2024 春·牡丹区期末)在学习了“等边对等角”定理后.某数学兴趣小组的同学继续探究了同一个三角形中边与角的数量关系,得到了一个正确的结论:“在同一个三角形中,较长的边所对的角较大”.简称:“在同一个三角形中,大边对大角”.即,如图:当$AB＞AC$时,$∠C＞∠B$.
该兴趣小组的同学在此基础上对等腰三角形“三线合一”性质的一般情况,继续进行了深入的探究,请你补充完整:
(1) 在$△ABC$中,AD 是 BC 边上的高线.
①如图 1,若$AB=AC$,则$∠BAD=∠CAD$;
②如图 2,若$AB≠AC$,当$AB＞AC$时,$∠BAD$______$∠CAD$.(填“＞”“＜”或“=”)
证明:$\because AD$是 BC 边上的高线,
$\therefore ∠ADB=∠ADC=90^{\circ }$,
$\therefore ∠BAD=90^{\circ }-∠B,∠CAD=90^{\circ }-∠C$.
$\because AB＞AC$,
$\therefore$ ____________(在同一个三角形中,大边对大角).
$\therefore ∠BAD$______$∠CAD$.
(2) 在$△ABC$中,AD 是 BC 边上的中线.
①如图 1,若$AB=AC$,则$∠BAD=∠CAD$;
②如图 3,若$AB≠AC$,当$AB＞AC$时,$∠BAD$______$∠CAD$.(填“＞”“＜”或“=”)
证明:

答案：

(1) ①证明：$\because AD$是$BC$边上的高线，$\therefore \angle ADB = \angle ADC = 90^{\circ}$，$\therefore \angle BAD = 90^{\circ} - \angle B,\angle CAD = 90^{\circ} - \angle C$。$\because AB = AC,\therefore \angle C = \angle B,\therefore \angle BAD = \angle CAD$。
②解：$\because AD$是$BC$边上的高线，$\therefore \angle ADB = \angle ADC = 90^{\circ}$，$\therefore \angle BAD = 90^{\circ} - \angle B,\angle CAD = 90^{\circ} - \angle C$。$\because AB ＞ AC,\therefore \angle C ＞ \angle B$（在同一个三角形中，大边对大角），$\therefore \angle BAD ＞ \angle CAD$。故答案为：$\angle C ＞ \angle B$，$＞$；
(2) ①证明：延长$AD$至$E$，使$ED = AD$，连接$CE$，如图 1 所示。$\because AD$是$BC$边上的中线，$\therefore BD = CD$，又$\because \angle ADB = \angle EDC,\therefore \triangle ABD\cong \triangle ECD(SAS)$，$\therefore \angle BAD = \angle E,AB = EC$。$\because AB = AC,\therefore EC = AC,\therefore \angle CAD = \angle E,\therefore \angle BAD = \angle CAD$；
②解：延长$AD$至$E$，使$ED = AD$，连接$CE$，如图 2 所示：同①得：$\triangle ABD\cong \triangle ECD(SAS),\therefore \angle BAD = \angle E,AB = EC$。$\because AB ＞ AC,\therefore EC ＞ AC,\therefore \angle CAD ＞ \angle E,\therefore \angle BAD ＜ \angle CAD$，故答案为：$＜$。