《2025年高效精练八年级数学上册苏科版》

16. (2024秋·滨江区期末)为了测量如图墙体是否与地面垂直,即MO是否垂直PN于点O,在没有角尺、量角器、刻度尺,只有足够长、足够多的若干条无弹性的绳子的情况下,三个数学兴趣小组分别设计了三种不同解决方案,其中第一、第二组的设计方案如表.

(1)第一、二小组的方案可行吗? 如果可行,请分别给出证明;如果不可行,请说明理由.
(2)请你代表第三小组,写出一个方案的应用原理不同于上述第一、第二小组的测量方案,并画出测量示意图,然后证明方案的可行性.

答案：

(1) 第一、二小组的方案都可行; 理由如下: 方案一: 在 $OM$ 上的绳子 $OA = 4a$, 在 $ON$ 上的绳子 $OB = 3a$, 若 $AB = 5a$, 如图 1, 在 $\triangle AOB$ 中, $BO^{2}+AO^{2} = (3a)^{2}+(4a)^{2} = 25a^{2}$, $AB^{2} = (5a)^{2} = 25a^{2}$, $\therefore AO^{2}+BO^{2} = AB^{2}$, $\therefore$ 三角形 $AOB$ 是直角三角形, $\therefore \angle AOB = 90^{\circ}$, $\therefore AO\perp BO$, $\therefore MO\perp PN$; 方案二: 如图 2, $\because AC = BC$, 若 $OC = BC$, 则 $AC = OC = CB$, $\therefore \angle CAO = \angle COA$, $\angle COB = \angle CBO$, 又 $\because \angle CAO+\angle COB+\angle COA+\angle CBO = 180^{\circ}$, $\therefore \angle CAO+\angle CBO = \angle COA+\angle COB = 90^{\circ}$, $\therefore AO\perp OB$, $\therefore MO\perp PN$;
(2) 第三小组的测量方案是: 如图 3, 在射线 $OM$, $ON$, $OP$ 上分别取点 $A$, $B$, $C$, 放置绳子 $AB$, $AC$, 使 $AB = AC$, 用叠合法比较 $OC$ 与 $OB$ 的长度, 若 $OC = OB$, 则墙体与地面垂直, 即 $MO\perp PN$ 于点 $O$, 否则不垂直. 证明: $\because AC = AB$, $\therefore \triangle ABC$ 是等腰三角形, 若 $OC = OB$, 则 $OA$ 是等腰 $\triangle ABC$ 的中线, 根据等腰三角形性质可知 $AO\perp BC$, 即 $MO\perp PN$.