《2025年高效精练八年级数学上册苏科版》

7. (2024 春·赫山区期中)如图,$AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC$,点 E,F 是垂足,$AE=CF$,求证:$Rt△ABF\cong Rt△CDE$.

证明：∵$AE = CF$，∴$AE + EF = CF + EF$，即$AF = CE$。又∵$BF \perp AC$，$DE \perp AC$，∴$\angle AFB = \angle CED = 90^{\circ}$。在$Rt\triangle ABF$与$Rt\triangle CDE$中，$\begin{cases} AB = CD, \\ AF = CE, \end{cases}$∴$Rt\triangle ABF \cong Rt\triangle CDE(HL)$。

答案： $AE = CF$，$\therefore AE + EF = CF + EF$，即 $AF = CE$。又$\because BF \perp AC$，$DE \perp AC$，$\therefore \angle AFB = \angle CED = 90^{\circ}$。在 $Rt\triangle ABF$ 与 $Rt\triangle CDE$ 中，$\begin{cases} AB = CD, \\ AF = CE, \end{cases}$ $\therefore Rt\triangle ABF \cong Rt\triangle CDE(HL)$。

8. (2025·陈仓区模拟)如图,点 A,B,C,D 在直线 l 上,$BE⊥l,CF⊥l,AC=BD,AE=DF$. 求证:$∠E=∠F.$

证明：$\because BE \perp l$，$CF \perp l$，$\therefore ∠ABE = ∠DCF = 90^{\circ}$。$\because AC = BD$，$\therefore AC - BC = BD - BC$，即 $AB = CD$。又$\because AE = DF$，$\therefore \triangle ABE \cong \triangle DCF$(HL)，$\therefore ∠E = ∠F$。

答案： 证明：$\because BE \perp l$，$CF \perp l$，$\therefore \angle ABE = \angle DCF = 90^{\circ}$。$\because AC = BD$，$\therefore AC - BC = BD - BC$，即 $AB = CD$。又$\because AE = DF$，$\therefore \triangle ABE \cong \triangle DCF(HL)$，$\therefore \angle E = \angle F$。

9. (2024 春·汝州市期中)如图,$△ABC$的高 BD 与 CE 相交于点 O,$OD=OE,AO$的延长线交 BC 于点 M,则图中共有全等的直角三角形 (D)

A. 3 对
B. 4 对
C. 5 对
D. 6 对

答案： D

10. (2023 秋·衡阳期末)如图,在$Rt△ABC$中,$∠C=90^{\circ },AC=10,BC=5$,线段$PQ=AB$,P,Q 两点分别在 AC 和过点 A 且垂直于 AC 的射线 AO 上运动,当$AP=$5 或 10时,$△ABC$和$△PQA$全等.

答案： 5 或 10

11. (2024 春·市北区期中)数学兴趣小组在完成一道数学题:
如图,$AC⊥BC,BD⊥AD,AD=BC$. 求证:$BD=AC.$
小丽说:“我可以根据全等三角形的判定定理‘AAS’证明两个三角形全等,从而得到$BD=AC.$”
小贾说:“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘HL’证明两个三角形全等,从而得到$BD=AC.$”
小雨说:“我可以根据三角形的面积相等,来证明$BD=AC.$”
你认为他们的办法可行吗？并试着证明.

答案：
都可行。证明 1：$\because AC \perp BC$，$BD \perp AD$，$\therefore \angle D = \angle C = 90^{\circ}$。在 $ \triangle AOD$ 和 $ \triangle BOC$ 中，$\begin{cases} \angle D = \angle C, \\ \angle AOD = \angle BOC, \\ AD = BC, \end{cases}$ $\therefore \triangle AOD \cong \triangle BOC(AAS)$，$\therefore AO = BO$，$DO = CO$，$\therefore AO + CO = BO + DO$，即 $BD = AC$。证明 2：连接 $AB$。$\because AC \perp BC$，$BD \perp AD$，$\therefore \angle D = \angle C = 90^{\circ}$。在 $Rt\triangle ABD$ 和 $Rt\triangle BAC$ 中，$\begin{cases} AD = BC, \\ AB = BA, \end{cases}$ $\therefore Rt\triangle ABD \cong Rt\triangle BAC(HL)$，$\therefore BD = AC$。证明 3：连接 $AB$，由证明 1 得知 $ \triangle AOD \cong \triangle BOC$，$\therefore S_{\triangle AOD} = S_{\triangle BOC}$，$\therefore S_{\triangle AOD} + S_{\triangle AOB} = S_{\triangle BOC} + S_{\triangle AOB}$，即 $S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ABC}$，又$\because S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2}AD \cdot BD$，$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}BC \cdot AC$，$\therefore \frac{1}{2}AD \cdot BD = \frac{1}{2}BC \cdot AC$。$\because AD = BC$，$\therefore BD = AC$。