《2025年高效精练八年级数学上册苏科版》

14. (2025春·昆明期中)如图所示,在平面直角坐标系中,三角形ABC经过平移得到三角形$A'B'C'$.
(1) 分别写出点$A,A'$的坐标:$A$(1, 0),$A'$(-4, 4).
(2) 请说明三角形$A'B'C'$是由三角形ABC经过怎样的平移得到的.∵ 点A坐标为 (1, 0)，且平移后的对应点A'的坐标为 (-4, 4)，∴ 1 + (-5) = -4，0 + 4 = 4，即△A'B'C'由△ABC向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度得到
(3) 若点$M(m,n+1)$是三角形ABC内部的一点,平移后的对应点$M'$的坐标为$(-1,m-2)$,求m和n的值.∵ 点M(m, n + 1)是三角形ABC内部的一点，平移后的对应点M'的坐标为 (-1, m - 2)，∴ m + (-5) = -1，n + 1 + 4 = m - 2，解得 m = 4，n = -3，故m的值为4，n的值为 -3

答案：
(1) (1, 0), (-4, 4)；
(2)
∵ 点A坐标为 (1, 0)，且平移后的对应点A'的坐标为 (-4, 4)，
∴ 1 + (-5) = -4，0 + 4 = 4，即△A'B'C'由△ABC向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度得到；
(3)
∵ 点M(m, n + 1)是三角形ABC内部的一点，平移后的对应点M'的坐标为 (-1, m - 2)，
∴ m + (-5) = -1，n + 1 + 4 = m - 2，解得 m = 4，n = -3，故m的值为4，n的值为 -3。

15. (2025春·厦门期中)对于平面直角坐标系xOy中的任意一点$P(x,y)$,给出如下定义:记$a=x+y,b=-x+y$,将点$M(a,b)$与点$N(b,a)$称为点P的一对伴随点.例如,点$M(1,-5)$与点$N(-5,1)$为点$P(3,-2)$的一对伴随点.
(1) 点$A(4,1)$的一对伴随点坐标为(5,-3),(-3,5);
(2) 将点$C(3m-1,m+1)(m＞0)$向左平移m个单位长度,得到点$C'$,若点$C'$的一对伴随点重合,求点C的坐标;$(\frac{1}{2},\frac{3}{2})$
(3) 已知点$E(-3,n),F(-3,n+1)$,点D为线段EF上的动点,点G,H为点D的一对伴随点.当点D在线段EF上运动时,线段GH与x轴总有公共点,请直接写出n的取值范围______$-3\leqslant n\leqslant 2$.

答案：
(1) 由题意得，a = x + y = 4 + 1 = 5，b = -x + y = -4 + 1 = -3，
∴ 点A的一对伴随点坐标为 (5, -3), (-3, 5)；
(2) 由题意得，C'(2m - 1, m + 1)，此时，a = 2m - 1 + m + 1 = 3m，b = -2m + 1 + m + 1 = -m + 2，则C'点的伴随点为 (-m + 2, 3m) 和 (3m, -m + 2)，
∴ 这两个伴随点重合，(即两点的横、纵坐标分别相等)，
∴ -m + 2 = 3m，解得，m = $\frac{1}{2}$，
∴ 3m - 1 = $\frac{1}{2}$，m + 1 = $\frac{3}{2}$，
∴ C点坐标为 ($\frac{1}{2}$,$\frac{3}{2}$)；
(3)
∵ D为线段EF上的动点，设D点坐标为 (-3, t)(n ≤ t ≤ n + 1)，
∴ D点的伴随点为：a = -3 + t，b = 3 + t，即 (-3 + t, 3 + t), (3 + t, -3 + t)，
∴ G(-3 + t, 3 + t)，H(3 + t, -3 + t)，
∵ 线段GH与x轴总有公共点，t + 3 ＞ t - 3，
∴ $\begin{cases} t + 3 \geqslant 0 \\ t - 3 \leqslant 0 \end{cases}$ 解得：-3 ≤ t ≤ 3，由n ≤ t ≤ n + 1，可得，$\begin{cases} n \geqslant -3 \\ n + 1 \leqslant 3 \end{cases}$ 解得，-3 ≤ n ≤ 2，
∴ n的取值范围为：-3 ≤ n ≤ 2。