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1. 因式分解的定义：
把一个多项式化成几个
把一个多项式化成几个
整式的积
的形式，这种变形叫做因式分解. 它与整式乘法
为互逆变形. 整式乘法是“积化和差”，而因式分解是“和差化积”，但都是整式恒等变形. 如：$2x^{2}-10x = 2x(x - 5)$属于因式分解
；而$2(x + 3)=2x + 6$属于整式乘法
.
答案：
1. 整式的积，整式乘法，因式分解，整式乘法.
2. 下列从左边到右边的变形中，哪些是因式分解？哪些不是因式分解？如果不是，请说明理由.
(1)$(x + 4)(x - 4)=x^{2}-16$；(2)$m^{2}-9=(m - 3)(m + 3)$；
(3)$x^{2}-y^{2}-1=(x + y)(x - y)-1$；(4)$x^{2}-2x + 1=x(x - 2)+1$；
(5)$x^{2}-4xy + 4y^{2}=(x - 2y)^{2}$；(6)$-a^{2}-2ab - b^{2}=-(a + b)^{2}$.
(1)$(x + 4)(x - 4)=x^{2}-16$；(2)$m^{2}-9=(m - 3)(m + 3)$；
(3)$x^{2}-y^{2}-1=(x + y)(x - y)-1$；(4)$x^{2}-2x + 1=x(x - 2)+1$；
(5)$x^{2}-4xy + 4y^{2}=(x - 2y)^{2}$；(6)$-a^{2}-2ab - b^{2}=-(a + b)^{2}$.
答案：
2.
(2)
(5)
(6)是因式分解；
(1)
(3)
(4)不是因式分解，因为结果不是积的形式.
(2)
(5)
(6)是因式分解；
(1)
(3)
(4)不是因式分解，因为结果不是积的形式.
3. $2023^{2}+2023$能被$2024$整除吗？为什么？
答案：
3. 能$. 2023^{2}+2023=2023×(2023+1)=2023×2024.$
例题 已知关于$x$的二次三项式$x^{2}+ax + b$因式分解的结果为$(x - 4)(x + 7)$，求$a + b$的值.
解：由题知$x^{2}+ax + b=(x - 4)(x + 7)$，
$\therefore x^{2}+ax + b=x^{2}+3x - 28$.
$\therefore ax + b=3x - 28$.
$\therefore a = 3$，$b = - 28$.
$\therefore a + b=3 - 28=-25$.
变式 两名同学将一个二次三项式因式分解，一名同学因看错一次项系数而分解成$2(x - 1)(x - 9)$，另一名同学因看错常数项而分解成$2(x - 2)(x - 4)$，求原多项式.
解：由题知$x^{2}+ax + b=(x - 4)(x + 7)$，
$\therefore x^{2}+ax + b=x^{2}+3x - 28$.
$\therefore ax + b=3x - 28$.
$\therefore a = 3$，$b = - 28$.
$\therefore a + b=3 - 28=-25$.
变式 两名同学将一个二次三项式因式分解，一名同学因看错一次项系数而分解成$2(x - 1)(x - 9)$，另一名同学因看错常数项而分解成$2(x - 2)(x - 4)$，求原多项式.
答案：
$2x^{2}-12x + 18.$
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