《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【问题1】上节课我们学习了对数的运算性质，但对于一些式子，比如$\log_{4}8$，$\log_{9}3$等式子的化简求值问题还不能做到，你能解决这个问题吗？

答案： 提示 设$\log_{a}8=x$，故有$a^{x}=8$，即$4^{2x}=2^{3}$，即$2^{2x}=8$（此处原图可能存在错误，按推理应为$a^{x}=8=2^{3}$ ，设$a=4$时，$4^x=2^{3},(2^2)^x=2^3,2^{2x}=2^3$），故$x=\frac{3}{2}$，而$\log_{2}8 = 3$，$\log_{2}4 = 2$，于是我们大胆猜测$\log_{a}8=\frac{\log_{2}8}{\log_{2}4}$，同样$\log_{3}3=\frac{\log_{2}8}{\log_{2}9}$.

【问题2】是否对任意的$\log_{a}b$都可以表示成$\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}(a＞0$，且$a\neq1$；$b＞0$；$c＞0$，且$c\neq1)$？说出你的理由.

答案： 提示 依据当$a＞0$，且$a\neq1$时，$a^{x}=N\Leftrightarrow\log_{a}N=x$推导得出.
令$\frac{\log_{b}}{\log_{a}} = x$，则$\log_{b}a=x\log_{a}a=\log_{a}a^{x}$，故$b = a^{x}$，
$\therefore x=\log_{a}b,\therefore\log_{a}b=\frac{\log_{b}}{\log_{a}}$.

【例1】(1)计算：$(\log_{4}3+\log_{8}3)(\log_{3}2+\log_{9}2)$；

答案： 解
(1)原式$=(\frac{\lg3}{\lg4}+\frac{\lg3}{\lg8})·(\frac{\lg2}{\lg3}+\frac{\lg2}{\lg9})$
$=(\frac{\lg3}{2\lg2}+\frac{\lg3}{3\lg2})·(\frac{\lg2}{\lg3}+\frac{\lg2}{2\lg3})$
$=\frac{5\lg3}{6\lg2}×\frac{3\lg2}{2\lg3}=\frac{5}{4}$.

(2)已知$\log_{18}9=a$，$18^{b}=5$，用$a$，$b$表示$\log_{36}45$的值.

答案：
(2)方法一 $\because\log_{18}9 = a,18^{b}=5,\therefore\log_{18}5 = b$.
$\therefore\log_{36}45=\frac{\log_{18}45}{\log_{18}36}=\frac{\log_{18}(9×5)}{\log_{18}(18×2)}$
$=\frac{\log_{18}9+\log_{18}5}{1 + \log_{18}2}=\frac{a + b}{1+\log_{18}\frac{18}{9}}=\frac{a + b}{\frac{18}{9} - a^{'}}(此处原图存在模糊不清，按推理应为\frac{a + b}{2 - a})$
方法二 $\because\log_{18}9 = a,18^{b}=5,\therefore\log_{18}5 = b$.
$\therefore\log_{36}45=\frac{\log_{18}(9×5)}{\log_{18}36}=\frac{\log_{18}9+\log_{18}5}{2\log_{18}18 - \log_{18}9}=\frac{a + b}{2 - a}$.