《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【例2】已知$\cos(\frac{\pi}{6}-\alpha)=\frac{\sqrt{3}}{3}$，则$\cos(\alpha+\frac{5\pi}{6})=$$-\frac{\sqrt{3}}{3}$。

答案： $-\frac{\sqrt{3}}{3} \cos(\alpha + \frac{5\pi}{6}) = \cos[\pi - (\frac{\pi}{6} - \alpha)]$
$= -\cos(\frac{\pi}{6} - \alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

(1) 已知$\sin(\pi+\alpha)=\frac{4}{5}$，且$\alpha$是第四象限角，则$\cos(\alpha - 2\pi)$的值是(B)

A.$-\frac{3}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\pm\frac{3}{5}$
D.$\frac{4}{5}$

答案：
(1)B 由 $\sin(\pi + \alpha) = \frac{4}{5}$，得 $\sin\alpha = -\frac{4}{5}$，
因为 $\cos(\alpha - 2\pi) = \cos\alpha$，且 $\alpha$ 是第四象限角，
所以 $\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \frac{3}{5}$.

(2) 已知$\sin(\theta-\frac{\pi}{3})=-\frac{1}{3}$，且$\theta\in(0,\frac{\pi}{2})$，则$\cos(\frac{2\pi}{3}+\theta)=$$-\frac{2\sqrt{2}}{3}$。

答案：
(2) $-\frac{2\sqrt{2}}{3} \cos(\frac{2\pi}{3} + \theta) = \cos[(\theta - \frac{\pi}{3}) + \pi]$
$= -\cos(\theta - \frac{\pi}{3})$，
$\because \theta \in (0, \frac{\pi}{2}), \therefore \theta - \frac{\pi}{3} \in (-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6})$，
$\therefore \cos(\theta - \frac{\pi}{3}) ＞ 0$，
即 $\cos(\theta - \frac{\pi}{3}) = \sqrt{1 - \sin^2(\theta - \frac{\pi}{3})} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$，
$\therefore \cos(\frac{2\pi}{3} + \theta) = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

【例3】化简：(1) $\frac{\cos(-\alpha)\tan(7\pi+\alpha)}{\sin(\pi-\alpha)}$；
(2) $\frac{\sin(1440^{\circ}+\alpha)·\cos(\alpha - 1080^{\circ})}{\cos(-180^{\circ}-\alpha)·\sin(-\alpha - 180^{\circ})}$。

答案： 解
(1)原式 $= \frac{\cos\alpha\tan(\pi + \alpha)}{\sin\alpha}$
$= \frac{\cos\alpha · \tan\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\sin\alpha} = 1$.
(2)原式 $= \frac{\sin(4 × 360° + \alpha) · \cos(\alpha - 3 × 360°)}{\cos(180° + \alpha) · [-\sin(180° + \alpha)]}$
$= \frac{\sin\alpha · \cos\alpha}{(-\cos\alpha) · \sin\alpha} = \frac{\cos\alpha}{-\cos\alpha} = -1$.

$\tan(5\pi+\alpha)=m$，则$\frac{\sin(\alpha - 3\pi)+\cos(\pi-\alpha)}{\sin(-\alpha)-\cos(\pi+\alpha)}$的值为(A)

A.$\frac{m + 1}{m - 1}$
B.$\frac{m - 1}{m + 1}$
C.$-1$
D.$1$

答案： A 因为 $\tan(5\pi + \alpha) = \tan\alpha = m$，
所以原式 $= \frac{\sin(\pi + \alpha) - \cos\alpha}{-\sin\alpha + \cos\alpha} = \frac{-\sin\alpha - \cos\alpha}{-\sin\alpha + \cos\alpha}$
$= \frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha} = \frac{\tan\alpha + 1}{\tan\alpha - 1} = \frac{m + 1}{m - 1}$.

1. 化简$\sin^{2}(\pi+\alpha)-\cos(\pi+\alpha)·\cos(-\alpha)+1$的结果为(D)

A.$1$
B.$2\sin^{2}\alpha$
C.$0$
D.$2$

答案： 1.D 原式 $= \sin^2\alpha + \cos^2\alpha + 1 = 2$.

2. $\log_{2}(\cos\frac{7\pi}{4})$的值为(B)

A.$-1$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$

答案： 2.B

3. 已知$\sin(\pi+\alpha)=\frac{3}{5}$，且$\alpha$是第四象限角，那么$\cos(\alpha-\pi)$的值是(B)

A.$\frac{4}{5}$
B.$-\frac{4}{5}$
C.$\pm\frac{4}{5}$
D.$\frac{3}{5}$

答案： 3.B 因为 $\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha = -\frac{3}{5}$，
所以 $\sin\alpha = -\frac{3}{5}$.
又 $\alpha$ 是第四象限角，
所以 $\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \frac{4}{5}$，
所以 $\cos(\alpha - \pi) = \cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha = -\frac{4}{5}$.

4. 化简：$\frac{\cos(5\pi+\alpha)}{\sin(-3\pi-\alpha)}·\tan(\pi+\alpha)=$$-1$。

答案： 4. $-1$ 原式 $= \frac{\cos(\pi + \alpha)}{-\sin(\pi + \alpha)} · \tan\alpha = \frac{-\cos\alpha}{\sin\alpha} · \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = -1$.