《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【问题 2】现在你能解指数方程 $2^x = 3$，$1.11^x = 2$，$10^x = 5$ 了吗？

答案： 提示 $x = \log_23$；$x = \log_{0.11}2$；$x = \log_{10}5$。

两类特殊对数
(1) 以 $10$ 为底的对数叫做常用对数，并把 $\log_{10} N$ 记为 $\lg N$。
(2) 以无理数 $e = 2.71828·s$ 为底的对数称为自然对数，并把 $\log_e N$ 记为 $\ln N$。

答案： 答题区：
两类特殊对数的定义如下：
(1) 常用对数：以 $10$ 为底的对数称为常用对数，记作 $\lg N$，即 $\log_{10}N = \lg N$。
(2) 自然对数：以无理数 $e = 2.71828·s$ 为底的对数称为自然对数，记作 $\ln N$，即$\log_{e}N = \ln N$。

【例 2】将下列指数式与对数式互化：
(1) $\log_2 16 = 4$；
(2) $\log_{\frac{1}{3}}27 = -3$；
(3) $\ln 10 = 2.303$；
(4) $4^3 = 64$；
(5) $3^{-2} = \frac{1}{9}$；
(6) $10^{-3} = 0.001$。

答案： 解
(1)$2^4 = 16$。
(2)$(\frac{1}{3})^{-3} = 27$。
(3)$e^{2.303} = 10$。
(4)$\log_464 = 3$。
(5)$\log_3\frac{1}{9} = -2$。
(6)$\lg0.001 = -3$。

【跟踪训练 2】下列指数式与对数式互化不正确的一组是(C)

A.$10^0 = 1$ 与 $\lg 1 = 0$
B.$27^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{3}$ 与 $\log_{27}\frac{1}{3} = -\frac{1}{3}$
C.$\log_3 9 = \frac{1}{2}$ 与 $9^{\frac{1}{2}} = 3$
D.$\log_5 5 = 1$ 与 $5^1 = 5$

答案： C 因为$9^{\frac{1}{2}} = 3$化为对数式应为$\log_93 = \frac{1}{2}$，故C不
正确。

【例 3】求下列各式中 $x$ 的值：
(1) $-\lg x = 2$；
(2) $\log_x\frac{1}{64} = -3$；
(3) $x = \log_{\frac{1}{3}}27$；
(4) $\ln\frac{1}{e^2} = x$。

答案： 解
(1)由$-\lg x = 2$得$\lg x = -2$，
$\therefore x = 10^{-2} = \frac{1}{100}$。
(2)由$\log_{\frac{1}{64}}x = -3$得$x^{-3} = \frac{1}{64}$，
$\therefore x = 4$。
(3)由$x = \log_{\frac{1}{3}}27$得$(\frac{1}{3})^x = 27$，即$3^{-x} = 3^3$，
$\therefore -x = 3$即$x = -3$。
(4)由$\ln\frac{1}{e^2} = x$得$e^x = \frac{1}{e^2}$，即$e^x = e^{-2}$，
$\therefore x = -2$。