《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【问题1】如图所示是函数$y = - x ^ { 2 } - 2 x$，$y = - 2 x + 1 ( x \in [ - 1, + \infty ) )$，$y = f ( x )$的图象.观察并描述这三个图象的共同特征.

答案： 提示　函数$y=-x^{2}-2x$的图象有最高点A，函数$y=-2x +1,x\in[-1,+\infty)$的图象有最高点B，函数$y=f(x)$的图象有最高点C，也就是说，这三个函数的图象的共同特征是都有最高点.

【问题2】你是怎样理解函数图象最高点的?

答案： 提示　图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值.

函数的最值
一般地，设函数$y = f ( x )$的定义域为$I$，如果存在实数$M$满足：
①$\forall x \in I$，都有$f ( x )$$\leq$$M$.
②$\exists x _ { 0 } \in I$，使得$f(x_{0})=M$.那么，我们称$M$是函数$y = f ( x )$的最大值.
一般地，设函数$y = f ( x )$的定义域为$I$，如果存在实数$M$满足：
①$\forall x \in I$，都有$f ( x )$$\geq$$M$.
②$\exists x _ { 0 } \in I$，使得$f(x_{0})=M$.那么，我们称$M$是函数$y = f ( x )$的最小值.

答案： $\leq f(x_{0})=M\geq f(x_{0})=M$

【例1】已知函数$f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l } { x ^ { 2 }, - 1 \leq x \leq 1, } \\ { \dfrac { 1 } { x }, x ＞ 1. } \end{array} \right.$求$f ( x )$的最大值、最小值.

答案：
解　作出函数$f(x)$的图象，如图.

由图象可知，当$x=\pm1$时，$f(x)$取最大值为$f(1)=f(-1)=1$，当$x=0$时，$f(x)$取最小值为$f(0)=0$.
故$f(x)$的最大值为1，最小值为0.

已知函数$f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l } { x ^ { 2 } - x, 0 \leq x \leq 2 } \\ { \dfrac { 2 } { x - 1 }, x ＞ 2, } \end{array} \right.$求函数$f ( x )$的最大值、最小值.

答案：
解　作出$f(x)$的图象如图.

由图象可知，当$x=2$时，$f(x)$取最大值为2；当$x=\frac{1}{2}$时，$f(x)$取最小值为$-\frac{1}{4}$.
所以$f(x)$的最大值为2，最小值为$-\frac{1}{4}$.