《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

判断下列全称量词命题的真假.
(1)每个平面四边形的内角和都是$360^{\circ}$；
(2)任何实数都有算术平方根；
(3)$\forall x\in\{y|y$是无理数$\},x^{2}$是无理数.

答案： 解
(1)真命题.
(2)负数没有算术平方根，假命题.
(3)$x=\sqrt{2}$是无理数，但$x^{2}=2$是有理数，假命题.

【问题 2】下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？
(1)$2x + 1 = 3$；
(2)$x$能被$2$和$3$整除；
(3)存在一个$x\in\mathbf{R}$，使$2x + 1 = 3$；
(4)至少有一个$x\in\mathbf{Z},x$能被$2$和$3$整除.

答案： 提示容易判断，
(1)
(2)不是命题.语句
(3)在
(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定；语句
(4)在
(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使
(3)
(4)变成了可以判断真假的陈述句，因此
(3)
(4)是命题.

存在量词与存在量词命题

答案： $\exists$存在量词$\exists x\in M,p(x)$

【例 2】判断下列命题是否为存在量词命题，并判断真假.
(1)有些整数既能被$2$整除，又能被$3$整除；
(2)某个四边形不是平行四边形；
(3)方程$3x - 2y = 10$有整数解；
(4)有一个实数$x$，使$x^{2}+2x + 4 = 0$.

答案： 解
(1)存在量词命题，表示为$\exists x\in \mathbf{Z}$，x既能被2整除，又能被3整除.真命题.
(2)存在量词命题，表示为$\exists x\in \{y\mid y$是四边形$\}$，x不是平行四边形.真命题.
(3)可改写为存在一对整数x,y，使$3x - 2y = 10$成立.故为存在量词命题.真命题.
(4)存在量词命题，由于$\Delta=2^{2}-4×4=-12\lt0$，因此方程无实根.假命题.