《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

(2) 化简：$ 2x^{\frac{1}{4}}(-3x^{\frac{1}{4}}y^{-\frac{1}{3}}) ÷ (-6x^{-\frac{3}{2}}y^{-\frac{4}{3}}) $($ x $，$ y＞0 $)；

答案：
(2)原式$=[2×(-3)÷(-6)]x^{\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{2}{3}}· y^{-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}=x^{2}y$。

(3) 化简：$ (2^{\sqrt{3}}\sqrt{m^{\sqrt{3}}})^{2\sqrt{3}} $($ m＞0 $)。

答案：
(3)原式$=(2\sqrt{3}· m^{\frac{\sqrt{3}}{2}})^{2\sqrt{3}}=2^{5}m^{3}=64m^{3}$。

【例 4】已知 $ x + x^{-1}=7 $，求值：
(1) $ x^{2} + x^{-2} $；
(2) $ x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} $；
(3) $ x^{2} - x^{-2} $。

答案： [例4] 解
(1)$x+x^{-1}=7$，两边平方得$x^{2}+2+x^{-2}=49$，所以$x^{2}+x^{-2}=47$。
(2)设$m=x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}$，两边平方得$m^{2}=x+x^{-1}+2=7+2=9$，因为$m＞0$，所以$m=3$，即$x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}=3$。
(3)设$n=x^{\frac{1}{2}}-x^{-\frac{1}{2}}$，两边平方得$n^{2}=x+x^{-1}-2=7-2=5$，因为$n\in R$，所以$n=\pm\sqrt{5}$，即$x^{\frac{1}{2}}-x^{-\frac{1}{2}}=\pm\sqrt{5}$。
所以$x-x^{-1}=(x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}}-x^{-\frac{1}{2}})=\pm3\sqrt{5}$，$x^{2}-x^{-2}=(x+x^{-1})(x-x^{-1})=\pm21\sqrt{5}$。

已知 $ x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{5} $，则 $ x^{2} + x^{-2}= $7。

答案： [跟踪训练4] 7 将$x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{5}$，两边平方得$x+x^{-1}+2=5$，则$x+x^{-1}=3$，两边再平方得$x^{2}+x^{-2}+2=9$，所以$x^{2}+x^{-2}=7$。

1. 若 $ a $ 是实数，则下列式子中可能没有意义的是(D)

A.$ \sqrt[4]{a^{2}} $
B.$ \sqrt[5]{a} $
C.$ \sqrt[5]{-a} $
D.$ \sqrt[4]{a} $

答案： 1.D 当$a＜0$时，$a$的偶次方根无意义。

2. 若 $ \sqrt{a - 2} + (a - 4)^{0} $ 有意义，则 $ a $ 的取值范围是(B)

A.$ [2, +\infty) $
B.$ [2,4) \cup (4, +\infty) $
C.$ (-\infty,2) \cup (2, +\infty) $
D.$ (-\infty,4) \cup (4, +\infty) $

答案： 2.B 由题意可知$\begin{cases}a - 2\geqslant0,\\a - 4\neq0,\end{cases}\therefore a\geqslant2$且$a\neq4$。

3. 在① $ a^{2n} · a^{n}=a^{3n} $；② $ 2^{2} × 3^{3}=6^{5} $；③ $ 3^{2} × 3^{2}=81 $；④ $ a^{2} · a^{3}=5^{a} $；⑤ $ (-a)^{2} · (-a)^{3}=a^{5} $ 中，计算正确的式子有(C)

A.4 个
B.3 个
C.2 个
D.1 个

答案： 3.C ①$a^{2n}· a^{n}=a^{3n}$，正确；②$6^{5}=2^{5}×3^{5}$，故$2^{2}×3^{3}\neq6^{5}$，故②错误；③$3^{2}×3^{3}=9×9=81$，正确；④$a^{2}· a^{3}=a^{5}$，故④错误；⑤$(-a)^{2}·(-a)^{3}=(-a)^{5}$，故⑤错误。

4. 计算：$ 0.25 × (-\frac{1}{2})^{-4} - 4 ÷ 2^{0} - (\frac{1}{16})^{-\frac{1}{2}}= $-4。

答案： 4.-4 原式$=\frac{1}{4}×16-4÷1-(\frac{1}{4})^{-1}=4-4-4=-4$。