《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【例 2】求函数 $ y = \log_{\frac{1}{2}}(x^{2} - 3x + 5) $ 的单调区间.

答案： 解 由于方程$x^2-3x+5=0$的判别式$\Delta=(-3)^2-4×5=-11＜0$，
$\therefore x^2-3x+5＞0$恒成立，即函数的定义域为R.
令$u(x)=x^2-3x+5$，当$x\in(-\infty,\frac{3}{2})$时，$u(x)$单调递减，当$x\in(\frac{3}{2},+\infty)$时，$u(x)$单调递增.
又$y=\log_{\frac{1}{2}}u$为减函数，
$\therefore y=\log_{\frac{1}{2}}(x^2-3x+5)$在$(-\infty,\frac{3}{2})$上单调递增，在$(\frac{3}{2},+\infty)$上单调递减.
综上，函数$y=\log_{\frac{1}{2}}(x^2-3x+5)$的单调递增区间为$(-\infty,\frac{3}{2})$，单调递减区间为$(\frac{3}{2},+\infty)$.

求函数 $ y = \log_{\frac{1}{2}}(1 - x^{2}) $ 的单调区间.

答案： 解 由题意知$1-x^2＞0$，$\therefore -1＜x＜1$.
令$t=1-x^2,x\in(-1,1)$，
则当$x\in(-1,0]$时，函数$t=1-x^2$单调递增，$y=\log_{\frac{1}{2}}t$单调递减.
$\therefore$当$x\in(-1,0]$时，$y=\log_{\frac{1}{2}}(1-x^2)$单调递减.
同理，当$x\in(0,1)$时，$y=\log_{\frac{1}{2}}(1-x^2)$单调递增.
故$y=\log_{\frac{1}{2}}(1-x^2)$的单调递增区间为$(0,1)$，单调递减区间为$(-1,0]$.

【例 3】求函数 $ f(x) = \log_{2}(4x) · \log_{\frac{1}{4}}\frac{x}{2} $，$ x \in \left[ \frac{1}{2}, 4 \right] $ 的值域.

答案： 解 $f(x)=\log_2(4x)·\log_{\frac{1}{2}}\frac{x}{2}=(\log_2x+2)·[-\frac{1}{2}(\log_2x-1)]$
$=-\frac{1}{2}[(\log_2x)^2+\log_2x-2]$.
设$\log_2x=t$.
$\because x\in[\frac{1}{2},4]$，$\therefore t\in[-1,2]$，
则有$y=-\frac{1}{2}(t^2+t-2),t\in[-1,2]$，
因此二次函数图象的对称轴为$t=-\frac{1}{2}$，
$\therefore$函数$y=-\frac{1}{2}(t^2+t-2)$在$[-1,-\frac{1}{2}]$上单调递增，在$[-\frac{1}{2},2]$上单调递减，
$\therefore$当$t=-\frac{1}{2}$时，$y_{max}=\frac{9}{8}$.
当$t=2$时，$y_{min}=-2$.
$\therefore f(x)$的值域为$[-2,\frac{9}{8}]$.

求下列函数的值域：
(1) $ f(x) = \log_{2}(3^{x} + 1) $；
(2) $ f(x) = \log_{2}\frac{x}{4} · \log_{2}\frac{x}{2} $($ 1 \leq x \leq 4 $).

答案：
(1) $f(x)$的定义域为R.
$\because 3^x＞0$，$\therefore 3^x+1＞1$.
$\because y=\log_2x$在$(0,+\infty)$上单调递增，
$\therefore\log_2(3^x+1)＞\log_21=0$，
$\therefore f(x)$的值域为$(0,+\infty)$.
(2) $\because f(x)=\log_2\frac{x}{4}·\log_2\frac{x}{2}$
$=(\log_2x-2)·(\log_2x-1)$
$=(\log_2x-\frac{3}{2})^2-\frac{1}{4}$.
又$\because1\leq x\leq4$，$\therefore0\leq\log_2x\leq2$，
当$\log_2x=\frac{3}{2}$，即$x=2\sqrt{2}$时，$f(x)$取最小值$-\frac{1}{4}$；
当$\log_2x=0$，即$x=1$时，$f(x)$取得最大值$2$，
$\therefore$函数$f(x)$的值域是$[-\frac{1}{4},2]$.