《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【例 2】将下列根式化成分数指数幂的形式：
(1) $ \sqrt{a\sqrt{a}} $($ a＞0 $)；
(2) $ \frac{1}{\sqrt[3]{x(\sqrt[5]{x^{2}})^{2}}} $；
(3) $ (\sqrt{b^{-\frac{2}{3}}})^{-\frac{2}{3}} $($ b＞0 $)。

答案： [例2] 解
(1)原式$=\sqrt{a· a^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{a^{\frac{3}{2}}}=(a^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{3}{4}}$。
(2)原式$=\frac{1}{\sqrt[3]{x}·(x^{\frac{2}{3}})^{2}}=\frac{1}{\sqrt[3]{x· x^{\frac{4}{3}}}}=\frac{1}{\sqrt[3]{x^{\frac{5}{3}}}}=\frac{1}{(x^{\frac{5}{3}})^{\frac{1}{3}}}=x^{-\frac{5}{9}}$。
(3)原式$=[(b^{-\frac{2}{3}})^{\frac{1}{4}}]^{-\frac{3}{2}}=b^{-\frac{2}{3}×\frac{1}{4}×(-\frac{3}{2})}=b^{\frac{1}{4}}$。

(1) 求值：$ \sqrt[3]{-\frac{8}{27}}= $$-\frac{2}{3}$；

答案：
(1)$-\frac{2}{3}$ 原式$=(-\frac{8}{27})^{\frac{1}{3}}=(-\frac{2}{3})^{3×\frac{1}{3}}=-\frac{2}{3}$。

(2) 用分数指数幂表示 $ \sqrt[3]{\sqrt[5]{a^{4}}}= $$a^{\frac{4}{15}}$。

答案：
(2)$a^{\frac{4}{15}}$ 原式$=\sqrt[3]{a^{\frac{4}{5}}}=a^{\frac{4}{15}}$。

1. 无理数指数幂：一般地，无理数指数幂 $ a^{\alpha} $($ a＞0 $，$ \alpha $ 为无理数)是一个确定的实数。

答案： 1.实数

【例 3】(1) $ \frac{(a^{\frac{2}{3}}b^{-1})^{-\frac{1}{2}}a^{-\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{3}}}{\sqrt[6]{ab^{5}}}= $$\frac{1}{a}$。(式中字母均是正数)

答案：
(1)$\frac{1}{a}$ 原式$=\frac{a^{\frac{2}{3}}×(-\frac{1}{2})· b^{\frac{1}{2}}· a^{-\frac{1}{2}}· b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{6}}· b^{\frac{5}{6}}}=\frac{a^{\frac{2}{3}-\frac{1}{2}}· b^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{6}}· b^{\frac{5}{6}}}=\frac{a^{\frac{5}{6}-\frac{1}{6}}· b^{\frac{5}{6}}}{a^{\frac{1}{6}}· b^{\frac{5}{6}}}=a^{-1}=\frac{1}{a}$

(2) 计算：$ \sqrt{\frac{25}{9}} - (\frac{8}{27})^{\frac{1}{3}} - (\pi - 3)^{0} + (\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}} $。

答案：
(2)解 原式$=\frac{5}{3}-\frac{2}{3}-1+2=2$。

(3) 计算：$ 4^{\sqrt{2}+1} · 2^{3 - 2\sqrt{2}} $。

答案：
(3)解 原式$=2^{2\sqrt{2}+2}·2^{3-2\sqrt{2}}=2^{2\sqrt{2}+2+3-2\sqrt{2}}=2^{5}=32$。

(1) 计算：$ (2\frac{1}{4})^{\frac{1}{2}} - (-2)^{0} - (\frac{27}{8})^{-\frac{2}{3}} + (\frac{3}{2})^{-2} $；

答案： [跟踪训练3] 解
(1)原式$=[(\frac{3}{2})^{2}]^{\frac{1}{7}}-1-[(\frac{3}{2})^{3}]^{-\frac{1}{3}}+(\frac{2}{3})^{2}=\frac{3}{2}-1-\frac{4}{9}+\frac{4}{9}=\frac{1}{2}$。