《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【例3】将-1125°写成α + 2kπ（k ∈ Z）的形式，其中0 ≤ α ＜ 2π，并判断它是第几象限角？

答案： 【例3】 解 $-1125^{\circ}=-1125×\frac{\pi}{180}=-\frac{25\pi}{4}=-8\pi+\frac{7\pi}{4}$，
其中$\frac{3\pi}{2}＜\frac{7\pi}{4}＜2\pi$，所以$\frac{7\pi}{4}$是第四象限角，
所以$-1125^{\circ}$是第四象限角.

【跟踪训练3】(1)用弧度制表示与150°角终边相同的角的集合为(D)

A.$\{β|β = -\frac{5π}{6} + 2kπ, k ∈ Z\}$
B.$\{β|β = \frac{5π}{6} + k·360°, k ∈ Z\}$
C.$\{β|β = \frac{2π}{3} + 2kπ, k ∈ Z\}$
D.$\{β|β = \frac{5π}{6} + 2kπ, k ∈ Z\}$

答案： 【跟踪训练3】
(1)D $150^{\circ}=150×\frac{\pi}{180}=\frac{5\pi}{6}$，故与$150^{\circ}$角终边相同
角的集合为$\{\beta\mid\beta=\frac{5\pi}{6}+2k\pi,k\in\mathbf{Z}\}$

(2)终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合为(用弧度制表示)______。

答案：
(2)$\{\alpha\mid-\frac{\pi}{6}+2k\pi\leqslant\alpha\leqslant\frac{\pi}{4}+2k\pi,k\in\mathbf{Z}\}$ 结合图象，设终边落在
阴影部分(包括边界)的角是$\alpha$，满足条件的角的集合是
$\{\alpha\mid-\frac{\pi}{6}+2k\pi\leqslant\alpha\leqslant\frac{\pi}{4}+2k\pi,k\in\mathbf{Z}\}$

【问题3】我们初中所学扇形的弧长和面积公式是什么？

答案： 提示 初中我们已学习过，圆心角为$n^{\circ}$的扇形的弧长公式
和面积公式分别为$l=\frac{n\pi R}{180}$，$S=\frac{n\pi R^{2}}{360}$，由弧度与角度的换算关系，我
们可以知道$\alpha=\frac{n\pi}{180}$

设扇形的半径为R，弧长为l，α(0 ＜ α ＜ 2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l = αR。
(2)扇形的面积公式：S = $\frac{1}{2}$lR = $\frac{1}{2}$αR²。

答案：
(1)$\alpha R$

【例4】已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm²，求扇形圆心角的弧度数。

答案： 【例4】 解 设扇形圆心角的弧度数为$\theta(0＜\theta＜2\pi)$，弧长为$l\mathrm{cm}$，半
径为$R\mathrm{cm}$，
依题意有$\begin{cases}l + 2R = 10,\frac{1}{2}lR = 4.\end{cases}$
整理得$R^{2}-5R + 4 = 0$，解得$R_{1}=1$，$R_{2}=4$.
当$R = 1$时，$l = 8$，此时，$\theta = 8(\mathrm{rad})＞2\pi\mathrm{rad}$，舍去.
当$R = 4$时，$l = 2$，此时，$\theta=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}(\mathrm{rad})$.
综上可知，扇形圆心角的弧度数为$\frac{1}{2}\mathrm{rad}$.