《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【例 3】计算下列各式的值：
(1) $ (\lg 5)^2 + 2 \lg 2 - (\lg 2)^2 $；
(2) $ \frac{\lg 3 + \frac{2}{5} \lg 9 + \frac{3}{5} \lg \sqrt{27} - \lg \sqrt{3}}{\lg 81 - \lg 27} $；
(3) $ \log_5 35 - 2 \log_5 \frac{7}{3} + \log_5 7 - \log_5 1.8 $。

答案： 解
(1)原式$=(\lg5)^{2}+(2 - \lg2)\lg2=(\lg5)^{2}+(1+\lg5)\lg2=(\lg5+\lg2)·\lg5+\lg2=\lg5+\lg2 = 1$.
原式$=\frac{\lg3+\frac{4}{5}\lg3+\frac{9}{10}\lg3-\frac{1}{2}\lg3}{4\lg3 - 3\lg3}=\frac{(1+\frac{4}{5}+\frac{9}{10}-\frac{1}{2})\lg3}{(4 - 3)\lg3}=\frac{11}{5}$.
(3)原式$=\log_{5}(5×7)-2(\log_{5}7-\log_{5}3)+\log_{5}7-\log_{5}\frac{9}{5}=\log_{5}5+\log_{5}7-2\log_{5}7 + 2\log_{5}3+\log_{5}7-2\log_{5}3+\log_{5}5=2\log_{5}5 = 2$.

【跟踪训练 3】计算下列各式的值：
(1) $ 2 \log_2 3 - \log_2 \frac{63}{8} + \log_2 7 $；
(2) $ \lg 25 + \frac{2}{3} \lg 8 + \lg 5 × \lg 20 + (\lg 2)^2 $。

答案： 解
(1)方法一原式$=2\log_{2}3-(\log_{2}63-\log_{2}8)+\log_{2}7=2\log_{2}3-\log_{2}7-\log_{2}9+\log_{2}8+\log_{2}7=2\log_{2}3-2\log_{2}3 + 3 + 3=3$.
方法二原式$=\log_{2}9-\log_{2}\frac{63}{8}+\log_{2}7=\log_{2}(9×\frac{8}{63}×7)=\log_{2}8=\log_{2}2^{3}=3$.
(2)原式$=2\lg5+2\lg2+\lg5×(2\lg2+\lg5)+(\lg2)^{2}=2\lg10+(\lg5+\lg2)^{2}=2+(\lg10)^{2}=2 + 1 = 3$.

1. 已知 $ 3^a = 2 $，那么 $ \log_3 8 - 2 \log_3 6 $ 用 $ a $ 表示是(A)

A.$ a - 2 $
B.$ 5a - 2 $
C.$ 3a - (1 + a)^2 $
D.$ 3a - a^2 $

答案： 1.A因为$3^{a}=2$，所以$a=\log_{3}2$，
所以$\log_{3}8 - 2\log_{3}6=\log_{3}2^{3}-2(\log_{3}2 + 1)=\log_{3}2 - 2=a - 2$.

2. 计算 $ \lg 2 - \lg \frac{1}{5} - e^{\ln 2} $ 等于(A)

A.$ -1 $
B.$ \frac{1}{2} $
C.$ 3 $
D.$ -5 $

答案： 2.A原式$=\lg(2÷\frac{1}{5})-2=-1$.

3. 已知 $ \lg 3 = a $，$ \lg 7 = b $，则 $ \lg \frac{3}{49} $ 的值为(B)

A.$ a - b^2 $
B.$ a - 2b $
C.$ \frac{b^2}{a} $
D.$ \frac{a}{b^2} $

答案： 3.B$\because\lg3 = a,\lg7 = b$，
$\therefore\lg\frac{3}{49}=\lg3-\lg49=\lg3 - 2\lg7=a - 2b$.

4. $ \frac{2 \lg 4 + \lg 9}{1 + \frac{1}{2} \lg 0.36 + \frac{1}{3} \lg 8} = $ 2。

答案： 4.2原式$=\frac{2\lg12}{1+\lg0.6+\lg2}=\frac{2\lg12}{\lg12}=2$.