《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【例2】求函数 $ y = 2\sin (x - \frac{\pi}{3}) $ 的单调区间。

答案： 【例2】解令$z = x - \frac {\pi}{3}$，则$y = 2\sin z$.
$\because z = x - \frac {\pi}{3}$是增函数，
$\therefore y = 2\sin z$单调递增(减)时，
函数$y = 2\sin \left(x - \frac {\pi}{3}\right)$也单调递增(减).
由$z\in \left[2k\pi - \frac {\pi}{2},2k\pi + \frac {\pi}{2}\right](k\in \mathbf{Z})$，
得$x - \frac {\pi}{3}\in \left[2k\pi - \frac {\pi}{2},2k\pi + \frac {\pi}{2}\right](k\in \mathbf{Z})$，
即$x\in \left[2k\pi - \frac {\pi}{6},2k\pi + \frac {5\pi}{6}\right](k\in \mathbf{Z})$，
故函数$y = 2\sin \left(x - \frac {\pi}{3}\right)$的单调递增区间为$\left[2k\pi - \frac {\pi}{6},2k\pi + \frac {5\pi}{6}\right](k\in \mathbf{Z})$.
同理可求函数$y = 2\sin \left(x - \frac {\pi}{3}\right)$的单调递减区间为
$\left[2k\pi + \frac {5\pi}{6},2k\pi + \frac {11\pi}{6}\right](k\in \mathbf{Z})$.

(1) 函数 $ y = \sin (\frac{\pi}{6} - x) $，$ x \in [0, 2\pi] $ 的单调递减区间为$\left[0,\frac {2\pi}{3}\right]$，$\left[\frac {5\pi}{3},2\pi\right]$；

答案：
【跟踪训练2】
(1)$\left[0,\frac {2\pi}{3}\right]$，$\left[\frac {5\pi}{3},2\pi\right]$ $y = \sin \left(\frac {\pi}{6} - x\right)= - \sin \left(x - \frac {\pi}{6}\right)$，
令$-\frac {\pi}{2}+2k\pi\leqslant x - \frac {\pi}{6}\leqslant \frac {\pi}{2}+2k\pi,k\in \mathbf{Z}$，
解得$-\frac {\pi}{3}+2k\pi\leqslant x\leqslant \frac {2\pi}{3}+2k\pi,k\in \mathbf{Z}$，
又$x\in[0,2\pi]$，$\therefore 0\leqslant x\leqslant \frac {2\pi}{3}$或$\frac {5\pi}{3}\leqslant x\leqslant 2\pi$，
$\therefore$原函数的单调递减区间为$\left[0,\frac {2\pi}{3}\right]$，$\left[\frac {5\pi}{3},2\pi\right]$.
　　　　　　
(2)解令$2k\pi - \pi\leqslant 2x - \frac {\pi}{6}\leqslant 2k\pi(k\in \mathbf{Z})$，
即$2k\pi - \frac {5\pi}{6}\leqslant 2x\leqslant 2k\pi + \frac {\pi}{6}(k\in \mathbf{Z})$，
$\therefore k\pi - \frac {5\pi}{12}\leqslant x\leqslant k\pi + \frac {\pi}{12}(k\in \mathbf{Z})$.
$\therefore$单调递增区间为$\left[k\pi - \frac {5\pi}{12},k\pi + \frac {\pi}{12}\right](k\in \mathbf{Z})$.
令$2k\pi\leqslant 2x - \frac {\pi}{6}\leqslant 2k\pi + \pi(k\in \mathbf{Z})$，
即$2k\pi + \frac {\pi}{6}\leqslant 2x\leqslant 2k\pi + \frac {7\pi}{6}(k\in \mathbf{Z})$，
$\therefore k\pi + \frac {\pi}{12}\leqslant x\leqslant k\pi + \frac {7\pi}{12}(k\in \mathbf{Z})$.
$\therefore$单调递减区间为$\left[k\pi + \frac {\pi}{12},k\pi + \frac {7\pi}{12}\right](k\in \mathbf{Z})$.
$\therefore$函数$y = 2\cos \left(2x - \frac {\pi}{6}\right)$的单调递增区间为
$\left[k\pi - \frac {5\pi}{12},k\pi + \frac {\pi}{12}\right](k\in \mathbf{Z})$，
单调递减区间为$\left[k\pi + \frac {\pi}{12},k\pi + \frac {7\pi}{12}\right](k\in \mathbf{Z})$.

(2) 求函数 $ y = 2\cos (2x - \frac{\pi}{6}) $ 的单调区间。

答案： 答题卡作答：
函数 $y = 2\cos (2x - \frac{\pi}{6})$ 的单调性由 $2x - \frac{\pi}{6}$ 的取值范围决定。
令 $2k\pi - \pi \leqslant 2x - \frac{\pi}{6} \leqslant 2k\pi$（$k \in \mathbf{Z}$），
解得 $k\pi - \frac{5\pi}{12} \leqslant x \leqslant k\pi + \frac{\pi}{12}$（$k \in \mathbf{Z}$）。
因此，函数的单调递增区间为 $[k\pi - \frac{5\pi}{12}, k\pi + \frac{\pi}{12}]$（$k \in \mathbf{Z}$）。
再令 $2k\pi \leqslant 2x - \frac{\pi}{6} \leqslant 2k\pi + \pi$（$k \in \mathbf{Z}$），
解得 $k\pi + \frac{\pi}{12} \leqslant x \leqslant k\pi + \frac{7\pi}{12}$（$k \in \mathbf{Z}$）。
因此，函数的单调递减区间为 $[k\pi + \frac{\pi}{12}, k\pi + \frac{7\pi}{12}]$（$k \in \mathbf{Z}$）。

【例3】若 $ x $ 是 $ \triangle ABC $ 中的最小内角，则 $ y = \sin x $ 的值域为(C)

A.$ [-1, 1] $
B.$ (0, 1] $
C.$ (0, \frac{\sqrt{3}}{2}] $
D.$ (0, \frac{1}{2}] $

答案： 【例3】C在$\triangle ABC$中，可知$A + B + C = \pi$，
因为$x$是$\triangle ABC$中的最小内角，所以$3x\leqslant \pi$，可得$0＜x\leqslant \frac {\pi}{3}$，
又由函数$y = \sin x$在区间$\left(0,\frac {\pi}{3}\right]$上单调递增，
且$\sin 0 = 0$，$\sin \frac {\pi}{3}=\frac {\sqrt {3}}{2}$，所以$\sin x\in \left(0,\frac {\sqrt {3}}{2}\right]$，即函数$y = \sin x$的值域为$\left(0,\frac {\sqrt {3}}{2}\right]$.