《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【例 1】求下列函数的定义域：
(1) $ y = \sqrt{\lg(2 - x)} $；
(2) $ y = \frac{1}{\log_{3}(3x - 2)} $；
(3) $ y = \frac{\log_{4}(4 - x)}{x - 3} $.

答案：

(1) 要使函数式有意义，则 $\lg(2-x)\geq0$，
$\begin{cases}2-x＞0,\\2-x\geq1,\end{cases}\therefore x\leq1$.
故函数的定义域为$(-\infty,1]$.
(2) 要使函数式有意义，则 $\log_3(3x-2)\neq0$，
$\begin{cases}3x-2＞0,\\3x-2\neq1,\end{cases}$
$\therefore x＞\frac{2}{3}$，且$x\neq1$.
故函数的定义域为$(\frac{2}{3},1)\cup(1,+\infty)$.
(3) 要使函数式有意义，则 $\begin{cases}4-x＞0,\\x-3\neq0,\end{cases}$解得$x＜4$，且$x\neq3$.
故函数的定义域为$(-\infty,3)\cup(3,4)$.

求下列函数的定义域：
(1) $ y = \log_{(2x + 1)}\sqrt{3x + 2} $；
(2) $ y = \frac{\sqrt{2x + x^{2}}}{\lg(2x - 1)} $.

答案：

(1) 要使函数式有意义，则 $\begin{cases}2x+1＞0,\\2x+1\neq1,\\3x+2＞0,\end{cases}$
解得$x＞-\frac{1}{2}$且$x\neq0$，
$\therefore$函数的定义域为$(-\frac{1}{2},0)\cup(0,+\infty)$.
(2) 要使函数式有意义，则 $\begin{cases}x^2+2x\geq0,\\2x-1＞0,\\\lg(2x-1)\neq0,\end{cases}$
即 $\begin{cases}x\geq0或x\leq-2,\\x＞\frac{1}{2},\\2x-1\neq1.\end{cases}$ 解得$x＞\frac{1}{2}$，且$x\neq1$.
$\therefore$函数的定义域为$(\frac{1}{2},1)\cup(1,+\infty)$.