《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【例 2】 (1) 函数 $ y=f(x) $ 的定义域是 $ [-1,3] $,则 $ f(2x+1) $ 的定义域为[-1,1].

答案：
(1)[-1,1] 令-1≤2x + 1≤3，解得-1≤x≤1，
所以f(2x + 1)的定义域为[-1,1].

(2) 若函数 $ y=f(3x+1) $ 的定义域为 $ [-2,4] $,则 $ y=f(x) $ 的定义域是 (B)

A.$ [-1,1] $
B.$ [-5,13] $
C.$ [-5,1] $
D.$ [-1,13] $

答案：
(2)B 由题意知，-2≤x≤4，
所以-5≤3x + 1≤13，
所以y = f(x)的定义域是[-5,13].

已知函数 $ f(x-1) $ 的定义域为 $ \{x|-2 \leqslant x \leqslant 3\} $,则函数 $ f(2x+1) $ 的定义域为 (D)

A.$ \{x|-1 \leqslant x \leqslant 9\} $
B.$ \{x|-3 \leqslant x \leqslant 7\} $
C.$ \{x|-2 \leqslant x \leqslant 1\} $
D.$ \left\{x \mid-2 \leqslant x \leqslant \frac{1}{2}\right\} $

答案： D
∵函数y = f(x - 1)的定义域为{x|-2≤x≤3}，
∴-3≤x - 1≤2，即函数f(x)的定义域为{x|-3≤x≤2}.
∴对函数f(2x + 1)，有-3≤2x + 1≤2，
解得-2≤x≤$\frac{1}{2}$.
即函数f(2x + 1)的定义域为{x|-2≤x≤$\frac{1}{2}$}.

【例 3】 求下列函数的值域:
(1) $ y=\sqrt{x}-1 $;
(2) $ y=x^{2}-4x+6,x \in [1,5] $;
(3) $ y=x^{4}+2x^{2}+3 $;
(4) $ y=\frac{3x+2}{x-1} $.

答案： 解
(1)
∵$\sqrt{x}$≥0，
∴$\sqrt{x}$ - 1≥ - 1，
∴y = $\sqrt{x}$ - 1的值域为[-1,+∞).
(2)配方得y = (x - 2)² + 2.
∵x∈[1,5]，
∴2≤y≤11，即函数的值域为[2,11].
(3)令x² = t，则t≥0，y = t² + 2t + 3 = (t + 1)² + 2，
∵t≥0，
∴(t + 1)²≥1，
∴y≥3，
∴函数的值域为[3,+∞).
(4)
∵y = $\frac{3x + 2}{x - 1}$ = $\frac{3(x - 1) + 5}{x - 1}$ = 3 + $\frac{5}{x - 1}$≠3，
∴函数的值域为(-∞,3)∪(3,+∞).

求下列函数的值域:
(1) $ y=2x+1,x \in \{1,2,3,4,5\} $;
(2) $ y=x^{2}+2x+3 $;
(3) $ y=x+2 \sqrt{x-1} $.

答案： 解
(1)
∵y = 2x + 1，且x∈{1,2,3,4,5}，
∴y∈{3,5,7,9,11}.
∴函数的值域为{3,5,7,9,11}.
(2)y = x² + 2x + 3 = (x + 1)² + 2，
∵(x + 1)²≥0，
∴(x + 1)² + 2≥2，
∴函数的值域为[2,+∞).
(3)令t = $\sqrt{x - 1}$(t≥0)，
则x = t² + 1，y = t² + 1 + 2t = (t + 1)²，
∵t≥0，
∴y = (t + 1)²≥1，
∴函数的值域为[1,+∞).