《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【例 2】已知函数$f(x)=\frac{ax + b}{1 + x^{2}}$是定义在$(-1,1)$上的奇函数，且$f(\frac{1}{2})=\frac{2}{5}$.
(1)确定函数$f(x)$的解析式；
(2)用定义法证明$f(x)$在$(-1,1)$上是增函数；
(3)解不等式：$f(t - 1)+f(t) ＜ 0$.

答案：
(1)解 根据题意得
$\begin{cases}a × 0 + b = \frac{0}{1 + 0²} = 0, \\ f(\frac{1}{2}) = \frac{2}{5} 即 \frac{\frac{a}{2} + b}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{2}{5}\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 1, \\ b = 0,\end{cases}$
∴f(x) = $\frac{x}{1 + x²}$。
(2)证明 任取x₁,x₂∈(-1,1)，且令x₁＜x₂，
f(x₁) - f(x₂) = $\frac{x₁}{1 + x₁²} - \frac{x₂}{1 + x₂²} = \frac{(x₁ - x₂)(1 - x₁x₂)}{(1 + x₁²)(1 + x₂²)}$
∵ - 1＜x₁＜x₂＜1，
∴x₁ - x₂＜0，1 + x₁²＞0，1 + x₂²＞0，1 - x₁x₂＞0，
∴f(x₁) - f(x₂)＜0，即f(x₁)＜f(x₂)，
∴f(x)在(-1,1)上是增函数。
(3)解 f(t - 1)＜ - f(t)=f(-t)。
∵f(x)在(-1,1)上是增函数，
∴$\begin{cases}-1＜t - 1＜1, \\ -1＜t＜1, \\ t - 1＜-t,\end{cases}$
解得0＜t＜$\frac{1}{2}$。
∴不等式的解集为{t|0＜t＜$\frac{1}{2}$}。

已知函数$f(x)$的定义域为$(-2,2)$，函数$g(x)=f(x - 1)+f(3 - 2x)$.
(1)求函数$g(x)$的定义域；
(2)若$f(x)$为奇函数，并且在定义域上是减函数，求不等式$g(x)\leq0$的解集.

答案： 解
(1)由题意可知$\begin{cases}-2＜x - 1＜2, \\ -2＜3 - 2x＜2,\end{cases}$
解得$\frac{1}{2}＜x＜\frac{5}{2}$，
故函数g(x)的定义域为($\frac{1}{2}$,$\frac{5}{2}$)。
(2)由g(x)≤0，得f(x - 1) + f(3 - 2x)≤0，
因为f(x)为奇函数，所以f(x - 1)≤ - f(3 - 2x)。
而f(x)在(-2,2)上是减函数，
所以$\begin{cases}x - 1≥2x - 3, \\ -2＜x - 1＜2, \\ -2＜3 - 2x＜2,\end{cases}$ 解得$\frac{1}{2}＜x≤2$。
所以不等式g(x)≤0的解集为($\frac{1}{2}$,2]。

1. 已知定义在$\mathbf{R}$上的奇函数$f(x)$满足$f(x + 2)=f(x)$，则$f(2)$的值是(A)

A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$4$

答案： A 由题意得f(0 + 2)=f
(2)=f
(0)=0。

2. 已知函数$f(x)$在区间$(0,2)$上是减函数，又函数$y = f(x + 2)$是偶函数，那么$f(x)$(B)

A.在区间$(2,4)$上是减函数
B.在区间$(2,4)$上是增函数
C.在区间$(-2,0)$上是减函数
D.在区间$(-2,0)$上是增函数

答案： B
∵函数y=f(x + 2)是偶函数，
∴函数y=f(x + 2)的图象关于y轴对称，
即函数y=f(x)关于x=2对称，
∵函数f(x)在(0,2)上是减函数，
∴函数f(x)在(2,4)上是增函数。

3. 已知定义在$\mathbf{R}$上的奇函数$f(x)$，且当$x\in[0,+\infty)$时，$f(x)$单调递增，则不等式$f(2x + 1)+f(1)\geq0$的解集是(C)

A.$(-\infty,1)$
B.$(-1,+\infty)$
C.$[-1,+\infty)$
D.$(-\infty,1]$

答案： C 因为函数f(x)是奇函数，所以不等式f(2x + 1) + f
(1)≥0等价于f(2x + 1)≥ - f
(1)。
又当x≥0时，函数f(x)单调递增，
所以函数f(x)在R上为增函数，所以f(2x + 1)≥f(-1)等价于2x + 1≥ - 1，解得x≥ - 1。

4. 已知$f(x)$是定义域为$\mathbf{R}$的偶函数，当$x\geq0$时，$f(x)=x^{2}-4x$，则不等式$f(x + 2) ＜ 5$的解集是(-7,3).

答案： (-7,3)