《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【问题3】根据三角函数的定义,大家猜测一下三角函数值在各个象限内的符号.

答案： 提示 三角函数值的符号是根据三角函数的定义和各象限内的坐标符号导出的。根据三角函数的定义可知
$(\sin\alpha = y,\cos\alpha = x,\tan\alpha = \frac{y}{x})$，正弦的符号取决于纵坐标y的符号，余弦的符号取决于横坐标x的符号，正切的符号是由纵坐标y和横坐标x共同决定的，同号为正，异号为负。

【例2】(1)若$sinαtanα＜0$,且$\frac{cosα}{tanα}＜0$,则角α是(C)

A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角

答案：
(1)C 由$\sin\alpha\tan\alpha ＜ 0$可知$\sin\alpha$，$\tan\alpha$异号，从而$\alpha$是第二或第三象限角。
由$\frac{\cos\alpha}{\tan\alpha} ＜ 0$可知$\cos\alpha$，$\tan\alpha$异号，从而$\alpha$是第三或第四象限角。
综上可知，$\alpha$是第三象限角。

(2)(多选)下列选项中,符号为负的是(ABD)

A.$sin(-100^{\circ})$
B.$cos(-220^{\circ})$
C.$tan10$
D.$cosπ$

答案：
(2)ABD $-100^{\circ}$在第三象限，故$\sin(-100^{\circ}) ＜ 0$；$-220^{\circ}$在第二象限，故$\cos(-220^{\circ}) ＜ 0$；$10 \in (3\pi,\frac{7\pi}{2})$在第三象限，故$\tan10 ＞ 0$；$\cos\pi = - 1 ＜ 0$。

【跟踪训练2】已知点$P(sinα,cosα)$在第三象限,则角α的终边在(C)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 【跟踪训练2】 C $\because$点$P(\sin\alpha,\cos\alpha)$在第三象限，
$\therefore\begin{cases} \sin\alpha ＜ 0, \\ \cos\alpha ＜ 0, \end{cases}$
$\therefore\alpha$为第三象限角。

【问题4】终边相同的角的三角函数值有何关系?

答案： 提示 由三角函数的定义，可以知道，终边相同的角的同一三角函数的值相等。

终边相同的角的同一三角函数的值相等.
即
$\begin{cases}sin(α + k· 2π) = $_________$ , \\cos(α + k· 2π) = $_________$ , \\tan(α + k· 2π) = $_________$ ,\end{cases}$
其中$k∈Z$.

答案： 相等 $\sin\alpha$ $\cos\alpha$ $\tan\alpha$

【例3】计算下列各式的值:
(1)$sin(-1395^{\circ})cos1110^{\circ}+cos(-1020^{\circ})sin750^{\circ}$;
(2)$sin(-\frac{11π}{6})+cos\frac{12π}{5}tan4π$.

答案： 【例3】 解
(1)原式$= \sin(-4 × 360^{\circ} + 45^{\circ})\cos(3 × 360^{\circ} + 30^{\circ}) + \cos(-3 × 360^{\circ} + 60^{\circ})\sin(2 × 360^{\circ} + 30^{\circ})$
$= \sin45^{\circ}\cos30^{\circ} + \cos60^{\circ}\sin30^{\circ}$
$= \frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} × \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1 + \sqrt{6}}{4}$
(2)原式$= \sin(-2\pi + \frac{\pi}{6}) + \cos(2\pi + \frac{2\pi}{5})\tan(4\pi + 0) = \sin\frac{\pi}{6} + \cos\frac{2\pi}{5} × 0 = \frac{1}{2}$