《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

1. 下列函数：①y=x³；②y=(1/2)^x；③y=4x²；④y=x⁵+1；⑤y=(x−1)²；⑥y=x；⑦y=a^x(a ＞ 1)。其中幂函数的个数为(B)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 1.B ②⑦为自变量在指数位置，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数．

2. 若幂函数的图象过点(3,√3)，则该幂函数的解析式是(B)

A.y=x⁻¹

$B.y=x^{1/2}$
C.y=x²
D.y=x³

答案： 2.B 设$y=x^{a}$，则$3^{a}=\sqrt{3}$，
$\therefore a=\frac{1}{2}$，$\therefore y=x^{\frac{1}{2}}$．

3. 图中C₁，C₂，C₃为三个幂函数y=x^α在第一象限内的图象，则解析式中指数α的值依次可以是(D)


A.1/2，3，−1
B.−1，3，1/2
C.1/2，−1，3
D.−1，1/2，3

答案： 3.D 由幂函数$y=x^{a}$在第一象限内的图象，结合幂函数的性质，可得图中$C_{1}$对应的$a＜0$，$C_{2}$对应的$0＜a＜1$，$C_{3}$对应的$a＞1$，结合选项知，指数$a$的值依次可以是$-1,\frac{1}{2},3$．

4. 若幂函数y=(2a² + a)x^a在(0,+∞)上单调递减，则a=-1。

答案： 4.-1 $2a^{2}+a=1$，解得$a=-1$或$a=\frac{1}{2}$．
当$a=\frac{1}{2}$时，$y=x^{\frac{1}{2}}$，在$(0,+\infty)$上单调递增，与已知不符，舍去；
当$a=-1$时，$y=x^{-1}$，在$(0,+\infty)$上单调递减，与已知相符，综上所述$a=-1$．

【例 1】为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30 天)的通话时间 $ x $(分)与通话费用 $ y $(元)的关系如图所示。
(1)分别求出通话费用 $ y_1 $，$ y_2 $与通话时间 $ x $之间的函数解析式；
(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜。

答案： [例1] 解
(1)由图象可设$y_1=k_1x + 30(k_1\neq0)$，$y_2=k_2x(k_2\neq0)$，把点$B(30,35)$，$C(30,15)$分别代入$y_1=k_1x + 30$，$y_2=k_2x$，得$k_1=\frac{1}{6}$，$k_2=\frac{1}{2}$.
$\therefore y_1=\frac{1}{6}x + 30(x\geq0)$，$y_2=\frac{1}{2}x(x\geq0)$.
(2)令$y_1=y_2$，即$\frac{1}{6}x + 30=\frac{1}{2}x$，则$x = 90$.
当$x = 90$时，$y_1=y_2$，两种卡收费一致；
当$x\lt90$时，$y_1\gt y_2$，使用便民卡便宜；
当$x\gt90$时，$y_1\lt y_2$，使用如意卡便宜.