《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【问题 1】如图是不等式第一节课我们抽象出来的在北京召开第 24 届国际数学家大会的会标，你还记得我们得出什么样的结论吗？

答案： 提示 正方形的边长$AB=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$，故正方形的面积为$a^{2}+b^{2}$，而四个直角三角形的面积为$2ab$，故有$a^{2}+b^{2}\geqslant2ab$，当且仅当$a =b$时，等号成立.实际上该不等式对任意的实数$a$，$b$都能成立，我们称该不等式为重要不等式.

【问题 2】现在我们讨论一种特别的情况，如果 $a ＞ 0$，$b ＞ 0$，我们用 $\sqrt{a}$，$\sqrt{b}$ 分别替换上式中的 $a$，$b$，能得到什么样结论？

答案： 提示 用$\sqrt{a}$，$\sqrt{b}$分别替换上式中的$a$，$b$可得到$a+b\geqslant2\sqrt{ab}$，当且仅当$a=b$时，等号成立.我们习惯表示成$\sqrt{ab}\leqslant\frac{a+b}{2}$.

【问题 3】上述不等式是在重要不等式基础上转化出来的，是否对所有的 $a ＞ 0$，$b ＞ 0$ 都能成立？请给出证明.

答案： 提示 方法一（作差法）
$\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}=\frac{a+b-2\sqrt{ab}}{2}=\frac{(\sqrt{a})^{2}-2\sqrt{ab}+(\sqrt{b})^{2}}{2}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}}{2}\geqslant0$，即$\frac{a+b}{2}\geqslant\sqrt{ab}$，当且仅当$a=b$时，等号成立.
方法二（性质法）
要证$\sqrt{ab}\leqslant\frac{a+b}{2}$，
只需证$2\sqrt{ab}\leqslant a+b$，
只需证$2\sqrt{ab}-a-b\leqslant0$，
只需证$-(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}\leqslant0$，
显然$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}\geqslant0$成立，当且仅当$a=b$时，等号成立.
方法三（利用几何意义证明）
如图$AB$是圆的直径，点$C$是$AB$上一点，$AC=a$，$BC=b$，过点$C$作垂直于$AB$的弦$DE$，故有$\triangle ACD\sim\triangle DCB$，故$CD=\sqrt{ab}$，连接$AD$，$BD$，由于$CD$小于或等于圆的半径，故用不等式表示为$\sqrt{ab}\leqslant\frac{a+b}{2}$，由此也可以得出圆的半径不小于半弦.

1. 基本不等式：如果 $a ＞ 0$，$b ＞ 0$，则 $\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2}$，当且仅当$a=b$时，等号成立.

答案： 1.$a=b$

3. 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

答案： 3.不小于

【例 1】(多选)下列说法正确的是(BC)

A.对 $\forall a$，$b \in \mathbf{R}$，$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$ 成立
B.若 $a ＞ 0$，$b ＞ 0$ 且 $a \neq b$，则 $a + b ＞ 2\sqrt{ab}$
C.对 $\forall a$，$b \in \mathbf{R}$，$a^2 + b^2 \geq 2ab$
D.若 $x ＞ 2$，则 $x + \frac{1}{x} \geq 2$ 中可以取等号

答案： [例1] $BC$ $A$项，当$a=-1,b=-1$时，不等式不成立；
$D$项，$x+\frac{1}{x}\geqslant2\sqrt{x·\frac{1}{x}}=2$时取等号的条件为$\begin{cases}x=\frac{1}{x}\\x＞2\end{cases}$无解，不等式中不可取等号.

【跟踪训练 1】(多选)下面四个推导过程正确的有(AC)

A.若 $a$，$b$ 为正实数，则 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2\sqrt{\frac{b}{a} · \frac{a}{b}} = 2$
B.若 $a \in \mathbf{R}$，$a \neq 0$，则 $\frac{4}{a} + a \geq 2\sqrt{\frac{4}{a} · a} = 4$
C.若 $x$，$y \in \mathbf{R}$，$xy ＜ 0$，则 $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = -\left[\left(-\frac{x}{y}\right) + \left(-\frac{y}{x}\right)\right] \leq -2\sqrt{\left(-\frac{x}{y}\right) · \left(-\frac{y}{x}\right)} = -2$
D.若 $a ＜ 0$，$b ＜ 0$，则 $\frac{a^2 + b^2}{2} ＜ ab$

答案： [跟踪训练1] $AC$ $A$中，$\because a,b$为正实数，$\therefore\frac{b}{a},\frac{a}{b}$为正实数，符合基本不等式的条件，故$A$正确；
$B$中，$a\in R,a\neq0$，不符合基本不等式的条件，故$B$错误；
$C$中，由$xy＜0$，得$\frac{x}{y},\frac{y}{x}$均为负数，但在推导过程中将整体$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$提出负号后，$-\frac{x}{y},-\frac{y}{x}$均变为正数，符合基本不等式的条件，故$C$正确；
$D$中，对任意的$a,b\in R$，都有$a^{2}+b^{2}\geqslant2ab$，即$\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\geqslant ab$，故$D$错误.