《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

在$\triangle ABC$中，下列各表达式为常数的是(C)

A.$\sin (A+B)+\sin C$
B.$\cos (B+C)-\cos A$
C.$\sin ^{2} \frac{A+B}{2}+\sin ^{2} \frac{C}{2}$
D.$\sin \frac{A+B}{2}\sin \frac{C}{2}$

答案： 在△ABC中，
∵$A + B + C = \pi$，
∴A项，$\sin ( A + B )$
$+ \sin C = 2 \sin C$，不为常数；
B项，$\cos ( B + C ) - \cos A = - 2 \cos A$，不为常数；
C项，$\sin ^ { 2 } \frac { A + B } { 2 } + \sin ^ { 2 } \frac { C } { 2 } = \cos ^ { 2 } \frac { C } { 2 } + \sin ^ { 2 } \frac { C } { 2 } = 1$为常数；
D项，$\sin \frac { A + B } { 2 } \sin \frac { C } { 2 } = \cos \frac { C } { 2 } \sin \frac { C } { 2 }$，不为常数.

【例3】已知角$\alpha$的顶点与原点$O$重合，始边与$x$轴的非负半轴重合，它的终边过点$P\left(\frac{12}{13}, \frac{5}{13}\right)$.
(1)求$\sin (\alpha+\pi)$的值；
(2)若角$\beta$就是将角$\alpha$的终边顺时针旋转$\frac{3 \pi}{2}$得到的，求$5 \sin \beta-5 \cos \beta+3 \tan \beta$的值.

答案：
解　
(1)根据题意，
得$\sin \alpha = \frac { 5 } { 13 }$，$\cos \alpha = \frac { \frac { 12 } { 13 } } { \sqrt { ( \frac { 5 } { 13 } ) ^ { 2 } + ( \frac { 12 } { 13 } ) ^ { 2 } } }=\frac{12}{13}$，$\tan \alpha = \frac { \sin \alpha } { \cos \alpha } = \frac { 5 } { 12 }$，
$\sin ( \alpha + \pi ) = - \sin \alpha = - \frac { 5 } { 13 }$．
(2)根据题意，得$\beta = \alpha - \frac { 3 \pi } { 2 }$，
$\therefore 5 \sin \beta - 5 \cos \beta + 3 \tan \beta$
$= 5 \sin ( \alpha - \frac { 3 \pi } { 2 } ) - 5 \cos ( \alpha - \frac { 3 \pi } { 2 } ) + 3 \tan ( \alpha - \frac { 3 \pi } { 2 } )$
$= 5 \cos \alpha + 5 \sin \alpha - \frac { 3 } { \tan \alpha }$
$= 5 × \frac { 12 } { 13 } + 5 × \frac { 5 } { 13 } - 3 × \frac { 12 } { 5 } = - \frac { 43 } { 65 }$

若角$\alpha$的终边上有一点$P(m,-8)$，且$\cos \alpha=-\frac{3}{5}$.
(1)求$m$的值；
(2)求$\frac{\sin (\pi+\alpha) \cos \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}{\tan (-\alpha-\pi) \cos (-\alpha)}$的值.

答案： 解　
(1)由勾股定理得，点P到原点的距离为
$r = \sqrt { m ^ { 2 } + ( - 8 ) ^ { 2 } } = \sqrt { m ^ { 2 } + 64 }$，
根据三角函数的定义可得
$\cos \alpha = \frac { m } { \sqrt { m ^ { 2 } + 64 } } = - \frac { 3 } { 5 }$，
解得$m = - 6$（$m = 6$舍去）．
(2)原式=$\frac { ( - \sin \alpha ) ( - \sin \alpha ) } { ( - \tan \alpha ) \cos \alpha } = - \sin \alpha$，
由
(1)可得$r = \sqrt { m ^ { 2 } + 64 } = 10$，
所以$\sin \alpha = \frac { - 8 } { r } = - \frac { 4 } { 5 }$，
所以原式=$ - \sin \alpha = \frac { 4 } { 5 }$．

1. 已知角$\theta$的终边过点$(-3,4)$，则$\cos (\pi-\theta)$等于(D)

A.$-\frac{4}{5}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$-\frac{3}{5}$
D.$\frac{3}{5}$

答案： 1.D因为角$\theta$的终边过点$(-3,4)$，
所以$\cos \theta = - \frac { 3 } { 5 }$，所以$\cos ( \pi - \theta ) = - \cos \theta = \frac { 3 } { 5 }$．

2. 若$\cos 57^{\circ}=m$，则$\cos 213^{\circ}$等于(C)

A.$-\frac{m}{\sqrt{1-m^{2}}}$
B.$-\sqrt{\frac{1-m^{2}}{1+m^{2}}}$
C.$-\sqrt{1-m^{2}}$
D.$-m$

答案： 2.C$\cos 213^{\circ} = \cos ( 180^{\circ} + 33^{\circ} ) = - \cos 33^{\circ}$
$= - \sin 57^{\circ} = - \sqrt { 1 - m ^ { 2 } }$

3. 若角$7 \pi-\alpha$的终边与单位圆的交点坐标是$\left(x, \frac{3}{5}\right)$，则$\cos (\alpha-2022 \pi)$等于(A)

A.$\pm \frac{4}{5}$
B.$\pm \frac{3}{5}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$-\frac{3}{5}$

答案： 3.A依题意知，$\sin ( 7 \pi - \alpha ) = \frac { 3 } { 5 }$，即$\sin \alpha = \frac { 3 } { 5 }$，
则$\cos \alpha = \pm \frac { 4 } { 5 }$，
故$\cos ( \alpha - 2022 \pi ) = \cos \alpha = \pm \frac { 4 } { 5 }$

4. 计算：$\sin ^{2} 11^{\circ}+\sin ^{2} 79^{\circ}=$1.

答案： 4.1因为$\sin 79^{\circ} = \sin ( 90^{\circ} - 11^{\circ} ) = \cos 11^{\circ}$，
所以原式=$\sin ^ { 2 } 11^{\circ} + \cos ^ { 2 } 11^{\circ} = 1$．