《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

1. (多选)下列命题是全称量词命题的是(AC)

A.任意一个自然数都是正整数
B.有的菱形是正方形
C.梯形有两边平行
D.$\exists x\in\mathbf{R},x^{2}+1 = 0$

答案： 1.AC选项A中的命题含有全称量词“任意”，是全称量词命题；选项C中，“梯形有两边平行”是全称量词命题.

2. 下列命题中是存在量词命题的是(D)

A.任何一个实数乘以$0$都等于$0$
B.任意一个负数都比零小
C.每一个正方形都是矩形
D.存在没有最大值的二次函数

答案： 2.DD选项是存在量词命题.

3. (多选)下列命题中是假命题的是(ACD)

A.$\forall x\in\mathbf{R},x^{3}\geqslant0$
B.$\exists x\in\mathbf{R},x^{3}=3$
C.$\forall x\in\mathbf{Q},x^{3}\geqslant1$
D.$\exists x\in\mathbf{N},x^{3}=3$

答案： 3.ACD取$x=-\frac{1}{2}$，$x^{3}=-\frac{1}{8}\lt0$，所以选项A,C为假命题；由$x^{3}=3$得$x=\sqrt[3]{3}$，是无理数，所以选项B为真命题，选项D为假命题.故选ACD.

4. 命题$p:\exists x,y\in\mathbf{R},x^{2}+y^{2}\leqslant1$是存在量词命题（填“全称量词命题”或“存在量词命题”），它是真（填“真”或“假”）命题.

答案： 4.存在量词命题真命题p是存在量词命题，当$x = 0,y = 0$时，$0\leqslant1$成立，故p是真命题.

【问题 1】写出下列命题的否定：
(1)所有的矩形都是平行四边形；
(2)每一个素数都是奇数；
(3)$\forall x\in\mathbf{R},x + |x|\geq0$。
它们与原命题在形式上有什么变化？

答案： 提示 上面三个命题都是全称量词命题，即具有“∀x∈M，
p(x)”的形式.其中命题
(1)的否定是“并非所有的矩形都是平行四
边形”，也就是说，存在一个矩形不是平行四边形；命题
(2)的否定是
“并非每一个素数都是奇数”，也就是说，存在一个素数不是奇数；命
题
(3)的否定是“并非所有的x∈R，x+｜x｜≥0”，也就是说，∃x∈R，
x+｜x｜＜0.
从命题形式看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题.

1. 对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：全称量词命题：$\forall x\in M,p(x)$，它的否定：∃x∈M,¬p(x)。也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题。

答案： 1.∃x∈M,¬p(x) 全称量词