《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【问题 1】结合之前所学，研究函数的一般步骤是什么？

答案： 提示 先确定函数的定义域，然后画出函数图象，通过图象研究函数的值域、单调性、最值、对称性、奇偶性等函数的性质．

【问题 2】绘制函数图象，首先要准确绘制其上一点，对于正弦函数，在$[0,2\pi]$上任取一个值$x_0$，如何借助单位圆确定正弦函数值$\sin x_0$，并画出点$T(x_0,\sin x_0)$？

答案：
提示 如图，在$[0, 2\pi]$上任取一个值$x_0$，根据正弦函数的定义可知$y_0 = \sin x_0$，此时弧AB的长度为$x_0$，结合之前每一个角的弧度数与实数的一一对应关系，可得点$T(x_0, \sin x_0)$．

【问题 3】我们已经学会绘制函数图象上的点，接下来，如何画函数$y = \sin x,x\in[0,2\pi]$的图象？你能想到什么方法？

答案：
提示 如图，借助单位圆，在$x$轴上把$[0, 2\pi]$12等分，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点，当然把圆周等分的份数越多，将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的正弦函数图象（通过信息技术展示），然后根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着$x$轴向左和向右连续的平行移动，每次移动的距离为$2\pi$，就得到函数$y = \sin x, x \in \mathbb{R}$的图象．

【例 1】下列叙述正确的个数为(D)
①$y = \sin x,x\in[0,2\pi]$的图象关于点$P(\pi,0)$成中心对称；
②$y = \cos x,x\in[0,2\pi]$的图象关于直线$x = \pi$成轴对称；
③正弦、余弦函数的图象不超过直线$y = 1$和$y = -1$所夹的范围.
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

答案： D 分别画出函数$y = \sin x, x \in [0, 2\pi]$和$y = \cos x, x \in [0, 2\pi]$的图象(略)，由图象观察可知①，②，③均正确．

【跟踪训练 1】下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述，不正确的是(A)

A.都可由$[0,2\pi]$内的图象向上、向下无限延展得到
B.都是对称图形
C.都与$x$轴有无数个交点
D.$y = \sin(-x)$的图象与$y = \sin x$的图象关于$x$轴对称

答案： A 由正弦、余弦函数的图象知，B，C，D正确．