《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

(1)$\frac{\log_{8}9}{\log_{2}3}$的值是(A)

A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$1$
D.$2$

答案：
(1)A 方法一 将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，
即$\frac{\log_{8}9}{\log_{2}3}=\frac{\frac{\lg9}{\lg8}}{\frac{\lg3}{\lg2}}=\frac{2\lg3}{3\lg2}·\frac{\lg2}{\lg3}=\frac{2}{3}$.
方法二 将分子利用换底公式转化为以$2$为底的对数，
即$\frac{\log_{8}9}{\log_{2}3}=\frac{\log_{2}9}{\log_{2}8}·\frac{\log_{2}3}{\log_{2}3}=\frac{2\log_{2}3}{3}·\frac{1}{\log_{2}3}=\frac{2}{3}$.

(2)计算：$\frac{\log_{5}\sqrt{2}×\log_{7}9}{\log_{5}\frac{1}{3}×\log_{7}\sqrt[3]{4}}$.

答案：
(2)解 原式$=\frac{\log_{5}\sqrt{2}}{\log_{5}\frac{1}{3}}×\frac{\log_{7}9}{\log_{7}\sqrt[3]{4}}$
$=\log_{\frac{1}{3}}\sqrt{2}×\log_{\sqrt[3]{4}}9=\log_{\frac{1}{3}}2^{\frac{1}{2}}×3\log_{2}2^{2}$
$=-\frac{1}{2}×\log_{3}2×3\log_{2}3=-\frac{3}{2}$.

【例2】(1)设$3^{a}=4^{b}=36$，求$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$的值；

答案： 解
(1)方法一 由$3^{a}=4^{b}=36$，
得$a = \log_{3}36,b = \log_{4}36$，
由换底公式得$\frac{1}{a}=\log_{36}3,\frac{1}{b}=\log_{36}4$，
$\therefore\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=2\log_{36}3+\log_{36}4=\log_{36}36 = 1$.
方法二 由$3^{a}=4^{b}=36$，两边取以$6$为底的对数，得$a\log_{6}3 = b\log_{6}4$
$=\log_{6}36 = 2$，
$\therefore\frac{2}{a}=\log_{6}3,\frac{1}{b}=\frac{1}{2}\log_{6}4=\log_{6}2$，
$\therefore\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=\log_{6}3+\log_{6}2=\log_{6}6 = 1$.

(2)已知$2^{x}=3^{y}=5^{z}$，且$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$，求$x$，$y$，$z$.

答案：
(2)令$2^{x}=3^{y}=5^{z}=k(k＞0)$，
$\therefore x=\log_{2}k,y=\log_{3}k,z=\log_{5}k$，
$\therefore\frac{1}{x}=\log_{k}2,\frac{1}{y}=\log_{k}3,\frac{1}{z}=\log_{k}5$，
由$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$，
得$\log_{k}2+\log_{k}3+\log_{k}5=\log_{k}30 = 1$，
$\therefore k = 30$，
$\therefore x=\log_{2}30 = 1+\log_{2}15$，
$y=\log_{3}30 = 1+\log_{3}10,z=\log_{5}30 = 1+\log_{5}6$.

已知$3^{a}=5^{b}=c$，且$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2$，求$c$的值.

答案： 解 $\because3^{a}=5^{b}=c,c＞0$，
$\therefore a=\log_{3}c,b=\log_{5}c$，
$\therefore\frac{1}{a}=\log_{c}3,\frac{1}{b}=\log_{c}5$，
$\therefore\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\log_{c}15$.
由$\log_{c}15 = 2$得$c^{2}=15$，即$c = \sqrt{15}$(负值舍去).