《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

1. 对数 $\log_{(a + 3)}(5 - a)$ 中实数 $a$ 的取值范围是(C)

A.$(-\infty, 5)$
B.$(-3, 5)$
C.$(-3, -2) \cup (-2, 5)$
D.$(-3, +\infty)$

答案： 1 C 要使对数$\log_{(a + 3)}(5 - a)$有意义，
则$\begin{cases}a + 3 ＞ 0,\\5 - a ＞ 0,\\a + 3 \neq 1.\end{cases}$
解得$-3 ＜ a ＜ 5$，且$a \neq -2$，故实数$a$的取值范围是
$(-3,-2) \cup (-2,5)$。

2. $2^{-3} = \frac{1}{8}$ 化为对数式为(C)

A.$\log_{\frac{1}{8}}2 = -3$
B.$\log_{\frac{1}{8}}(-3) = 2$
C.$\log_2\frac{1}{8} = -3$
D.$\log_2(-3) = \frac{1}{8}$

答案： 2 C 根据对数的定义知选C。

3. 已知 $\log_{a^2}b = c$，则有(B)

A.$a^{2b} = c$
B.$a^{2c} = b$
C.$b^c = 2a$
D.$c^{2a} = b$

答案： 3 B 由题意得$(a^2)^c = b$，即$a^{2c} = b$。

4. 计算：$3\log_2 2 + 2\log_3 1 - 3\log_7 7 + 3\ln 1=$____。

答案： 4 0 原式$= 3 × 1 + 2 × 0 - 3 × 1 + 3 × 0 = 0$。

【问题 1】将指数式 $ M = a^p $，$ N = a^q $ 化为对数式，结合指数运算性质 $ MN = a^p a^q = a^{p + q} $ 能否将其化为对数式？它们之间有何联系（用一个等式表示）？

答案： 提示由$M=a^{p},N=a^{q}$得$p=\log_{a}M,q=\log_{a}N$.
由$MN=a^{p+q}$得$p + q=\log_{a}(M· N)$.
从而得出$\log_{a}(MN)=\log_{a}M+\log_{a}N(a＞0$,且$a\neq1,M＞0,N＞0)$.

【问题 2】结合问题 1，若 $ \frac{M}{N} = \frac{a^p}{a^q} = a^{p - q} $，又能得到什么结论？

答案： 提示将指数式$\frac{M}{N}=a^{p - q}$化为对数式，得$\log_{a}\frac{M}{N}=p - q=\log_{a}M-\log_{a}N(a＞0$,且$a\neq1,M＞0,N＞0)$.

【问题 3】结合问题 1，若 $ M^n = (a^p)^n = a^{np} (n \in \mathbf{R}) $，又能有何结果？

答案： 提示由$M^{n}=a^{np}$，得$\log_{a}M^{n}=np=n\log_{a}M(n\in R)$.

如果 $ a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $，$ M ＞ 0 $，$ N ＞ 0 $，那么
(1) $ \log_a (MN) = $ $\log_{a}M+\log_{a}N$。
(2) $ \log_a \frac{M}{N} = $ $\log_{a}M-\log_{a}N$。
(3) $ \log_a M^n = n \log_a M (n \in \mathbf{R}) $。

答案：
(1)$\log_{a}M+\log_{a}N$
(2)$\log_{a}M-\log_{a}N$