《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【问题 1】我们知道若 $2^x = 4$，则 $x = 2$；若 $3^x = 81$，则 $x = 4$；若 $(\frac{1}{2})^x = 128$，则 $x = -7$ 等等这些方程，我们可以轻松求出 $x$ 的值，但对于 $2^x = 3$，$1.11^x = 2$，$10^x = 5$ 等这样的指数方程，你能求出方程的解吗？

答案： 提示 用指数方程不能解决上述方程，为了解决这个问题，早在18世纪的欧拉为我们提供了解决问题的方案，那就是发现了指数与对数的互逆关系，用对数来表示指数方程的解。

对数的定义：一般地，如果 $a^x = N(a ＞ 0$，且 $a \neq 1)$，那么数 $x$ 叫做以 $a$ 为底 $N$ 的对数，记作 $x = \log_a N$，其中 $a$ 叫做对数的底数，$N$ 叫做真数。

答案： 底数 真数

【例 1】若对数式 $\log_{(t - 2)}3$ 有意义，则实数 $t$ 的取值范围是(B)

A.$[2, +\infty)$
B.$(2, 3) \cup (3, +\infty)$
C.$(-\infty, 2)$
D.$(2, +\infty)$

答案： B 要使对数式$\log_{(t-2)}3$有意义，
需$\begin{cases}t - 2 ＞ 0,\\t - 2 \neq 1.\end{cases}$
解得$t ＞ 2$，且$t \neq 3$。
所以实数$t$的取值范围是$(2,3) \cup (3,+\infty)$。

【跟踪训练 1】在 $M = \log_{(x - 3)}(x + 1)$ 中，要使式子有意义，$x$ 的取值范围为(B)

A.$(-\infty, 3]$
B.$(3, 4) \cup (4, +\infty)$
C.$(4, +\infty)$
D.$(3, 4)$

答案： B 由对数的概念可得$\begin{cases}x + 1 ＞ 0,\\x - 3 ＞ 0,\\x - 3 \neq 1.\end{cases}$
解得$3 ＜ x ＜ 4$或$x ＞ 4$。