《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【问题】我想问一下同学们，今天你向家长要零花钱了吗？构造向家长要零花钱的函数 $ y = 2^x $.

在学习指数函数时，我们想知道的是，第几天我们能获得多少零花钱，而现在，我们知道的是，当你获得 $ 1024 $ 元的时候，是在第 $ 10 $ 天，同学们可以大胆猜测一下，你在第几天可以获得 $ 1048576 $ 元和 $ 1073741824 $ 元？

答案： 提示根据指数与对数的相互转化，我们知道y=2^x可以化为x=log₂y，根据对数的运算，我们便可得到是在第20天和30天获得上述钱数.

一般地，函数y=logₐx(a＞0,且a≠1)叫做对数函数，其中 $ x $ 是自变量，函数的定义域是(0,+∞).

答案： y=logₐx(a＞0,且a≠1)(0,+∞)

【例 $ 1 $】(1) 给出下列函数：
① $ y = \log_{\frac{2}{3}} x^2 $；② $ y = \log_3 (x - 1) $；
③ $ y = \log_{(x + 1)} x $；④ $ y = \log_{\pi} x $.
其中是对数函数的有(A)

A.$ 1 $ 个
B.$ 2 $ 个
C.$ 3 $ 个
D.$ 4 $ 个

答案：
(1)A只有④满足对数函数的定义.

(2) 已知对数函数 $ f(x) $ 的图象过点 $ P(8, 3) $，则 $ f\left( \frac{1}{32} \right) = $-5.

答案：
(2)-5设对数函数f(x)=logₐx(a＞0,且a≠1)，
∵f(x)的图象过点P(8,3)，
∴3=logₐ8,
∴a³=8,a=2.
∴f(x)=log₂x，
∴f(1/32)=log₂(1/32)=log₂2⁻⁵=-5.

【跟踪训练 $ 1 $】(1) 下列函数是对数函数的是②(填序号)；
① $ y = \log_a (5 + x) $($ a ＞ 0 $ 且 $ a \neq 1 $)；② $ y = \log_{(\sqrt{3} - 1)} x $；
③ $ y = \log_3 (-x) $；④ $ y = \log_x \sqrt{3} $($ x ＞ 0 $ 且 $ x \neq 1 $).

答案：
(1)①②和③中真数不是x，所以不是对数函数，④中底数是x，不是常数；②符合对数函数的特征，所以是对数函数.

(2) 已知函数 $ f(x) $ 是对数函数，且 $ f\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -\frac{1}{2} $，则 $ f(2\sqrt{2}) = $3/2.

答案：
(2)3/2设f(x)=logₐx(a＞0,且a≠1)，
因为f(√2/2)=-1/2，所以a=2,f(x)=log₂x，
所以f(2√2)=3/2.