《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【例2】已知函数$y = f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的偶函数，且当$x\leq0$时，$f(x)=x^{2}+2x$.现已画出函数$f(x)$在$y$轴左侧的图象，如图所示.

(1)请补全函数$y = f(x)$的图象；
(2)根据图象写出函数$y = f(x)$的单调递增区间；
(3)根据图象写出使$f(x)\lt0$的$x$的取值集合.

答案：
解　
(1)由题意作出函数图象如图.

(2)由图可知，单调递增区间为$( -1,0)$，$(1, + \infty)$.
(3)由图可知，使$f(x)＜0$的$x$的取值集合为$\{ x \mid -2 ＜ x ＜ 2$，且$x \neq 0 \}$.

定义在$[-3,-1]\cup[1,3]$上的函数$f(x)$是奇函数，其部分图象如图所示.

(1)请在坐标系中补全函数$f(x)$的图象；
(2)比较$f(1)$与$f(3)$的大小.

答案：
解　
(1)由于$f(x)$是奇函数，则其图象关于原点对称，其图象如图所示.

(2)观察图象，知$f(3)＜f(1)$.

【例3】(1)若函数$f(x)=ax^{2}+bx + 3a + b$是偶函数，定义域为$[a - 1,2a]$，则$a=$$\frac{1}{3}$，$b=$$0$.

答案：
(1)$\frac{1}{3}$ $0$ 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以$a - 1 = -2a$，解得$a = \frac{1}{3}$.又函数$f(x)=\frac{1}{3}x^{2} + bx + b +1$为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得$b = 0$.

(2)已知函数$f(x)=x^{7}-ax^{5}+bx^{3}+cx + 2$，若$f(-3)=-3$，则$f(3)=$$7$.

答案：
(2)7 令$g(x)=x^{7}-ax^{5}+bx^{3}+cx$，则$g(x)$是奇函数，$\therefore f(-3)=g(-3)+2=-g(3)+2$，又$f(-3)=-3$，$\therefore g(3)=5$.又$f(3)=g(3)+2$，$\therefore f(3)=5 + 2 = 7$.

(1)已知函数$f(x)=x^{2}+(2 - m)x + m^{2}+12$为偶函数，则$m$的值是(C)

A.4
B.3
C.2
D.1

答案：
(1)C

(2)设函数$f(x)=\frac{(x + 1)(x + a)}{x}$为奇函数，则$a=$$-1$.

答案：
(2)$-1$ 因为$f(x)$为奇函数，所以$f(-x)= -f(x)$，即$\frac{(-x + 1)(-x + a)}{-x}=\frac{(x + 1)(x + a)}{x}$，显然$x \neq 0$，整理得$x^{2}-(a + 1)x + a = x^{2}+(a + 1)x + a$，故$a + 1 =0$，得$a = -1$.