《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【问题 7】应用基本不等式求最值应注意哪些？

答案： [问题7] 提示 一正，二定，三相等.

【例 3】已知函数 $ f(x) = \frac{x^2 - 2x + a}{x} $。
(1)当 $ a = 4 $ 时，求函数 $ f(x) $ 在 $ x\in (0,+\infty) $ 上的最小值；
(2)当 $ a ＞ 0 $ 时，求函数 $ f(x) $ 在 $ [2,+\infty) $ 上的最小值。

答案： [例3] 解
(1)当$a = 4$时，$f(x)=\frac{x^2 - 2x + 4}{x}=x+\frac{4}{x}-2$，
当$x\in(0,+\infty)$时，
$f(x)=x+\frac{4}{x}-2\geq2\sqrt{x·\frac{4}{x}}-2 = 2$，
当且仅当$x=\frac{4}{x}$，即$x = 2$时等号成立，
$\therefore f(x)$的最小值为2.
(2)$f(x)=x+\frac{a}{x}-2$，设$0\lt x_1\lt x_2\lt\sqrt{a}$，
$f(x_1)-f(x_2)=x_1 - x_2+\frac{a}{x_1}-\frac{a}{x_2}=(x_1 - x_2)\left(1-\frac{a}{x_1x_2}\right)$，
$\because0\lt x_1\lt x_2\lt\sqrt{a}$，$\therefore x_1x_2\lt a$，
$\therefore f(x_1)-f(x_2)\gt0$，即$f(x_1)\gt f(x_2)$，
$\therefore f(x)$在$(0,\sqrt{a})$上单调递减，同理可证$f(x)$在$(\sqrt{a},+\infty)$上单调递增.
当$0\lt a\leq4$时，$0\lt\sqrt{a}\leq2$，函数$f(x)$在$[2,+\infty)$上单调递增，
$f(x)_{min}=f(2)=\frac{a}{2}$；
当$a\gt4$时，函数$f(x)$在$[2,\sqrt{a})$上单调递减，
在$(\sqrt{a},+\infty)$上单调递增，
$f(x)_{min}=f(\sqrt{a})=2\sqrt{a}-2$.
设$f(x)$的最小值为$g(a)$，
$\therefore g(a)=\begin{cases}\frac{a}{2}, & 0\lt a\leq4 \\2\sqrt{a}-2, & a\gt4\end{cases}$.

(1)已知 $ x ＞ 0 $，求 $ y = \frac{x}{x^2 + 4} $ 的最大值，并求此时 $ x $ 的值；

答案：
(1)$y=\frac{x}{x^2 + 4}=\frac{1}{x+\frac{4}{x}}\leq\frac{1}{4}$，当且仅当$x = 2$时，$y_{max}=\frac{1}{4}$.

(2)已知 $ x\geq 2 $，求 $ y = x + \frac{1}{x} $ 的最小值(提示：利用图象助解)。

答案：

(2)作出$y = x+\frac{1}{x}(x\gt0)$的图象，可知函数在$x\geq2$时单调递增，
$\therefore x = 2$时，$y_{min}=\frac{5}{2}$.

1. (多选)已知函数 $ y = \frac{3}{x} $，下列结论中正确的是(ABC)

A.其图象经过点(3,1)
B.其图象分别位于第一、三象限
C.当 $ x ＞ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
D.当 $ x ＞ 1 $ 时，$ y ＞ 3 $

答案： 1.ABC 反比例函数$y=\frac{3}{x}$，当$x = 3$时，$y = 1$，故A正确；因为$y=\frac{3}{x}$分子大于0，所以图象在第一、三象限，故B正确；反比例函数在第一、三象限上都单调递减，所以C正确；因为在$(0,+\infty)$上，$y=\frac{3}{x}$单调递减，所以当$x\gt1$时，$0\lt y\lt3$，所以D错误.

2. 已知集合 $ A = \{x|y = \frac{1}{x}\} $，$ B = \{y|y = \frac{1}{x}\} $，$ C = \{(x,y)|y = \frac{1}{x}\} $，则下列结论正确的是(A)

A.$ A = B $
B.$ A = C $
C.$ B = C $
D.$ A = B = C $

答案： 2.A $\because$函数$y=\frac{1}{x}$的定义域为$A=\{x|y=\frac{1}{x}\}=\{x|x\neq0\}$，值域为$B=\left\{y\left|y=\frac{1}{x}\right.\right\}=\{y|y\neq0\}$，又集合$A$，$B$都是数集，$C$是点集，
$\therefore A = B$.

3. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 $ p $(千帕)是气球体积 $ V $(立方米)的反比例函数，其图象如图所示，则这个函数的解析式为(D)


A.$ p = 96V $
B.$ p = -\frac{96}{V} $
C.$ p = \frac{69}{V} $
D.$ p = \frac{96}{V} $

答案： 3.D 因为气球内气体的气压是气球体积的反比例函数，所以可设$p=\frac{k}{V}(k\neq0)$，由图象可知，点$(1.5,64)$在函数图象上，所以$64=\frac{k}{1.5}$，解得$k = 96$，故$p=\frac{96}{V}$.

4. 已知对勾函数 $ y = x + \frac{a^2}{x} $($ a ＞ 0 $)在 $ (-\infty, -a) $ 和 $ (a, +\infty) $ 上单调递增，在 $ (-a,0) $ 和 $ (0,a) $ 上单调递减。若对勾函数 $ f(x) = x + \frac{t}{x} $($ t ＞ 0 $)在整数集合 $ \mathbf{Z} $ 内单调递增，则实数 $ t $ 的取值范围为(0,2)。

答案： 4.$(0,2)$ 根据题意得$f(x)$在$(-\infty,-\sqrt{t})$，$(\sqrt{t},+\infty)$上单调递增，要使$f(x)$在整数集合$\mathbf{Z}$内单调递增，则
$\begin{cases}\sqrt{t}\lt2 \\f(1)\lt f(2)\end{cases}$，即
$\begin{cases}0\lt t\lt4 \\1 + t\lt2+\frac{t}{2}\end{cases}$，解得$0\lt t\lt2$，
$\therefore$实数$t$的取值范围为$(0,2)$.