《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【例 2】已知函数 $ f(x) = \log_{2}(x + 1) - 2 $.
(1) 若 $ f(x) ＞ 0 $，求 $ x $ 的取值范围；
(2) 若 $ x \in (-1, 3] $，求 $ f(x) $ 的值域.

答案：
(1) 函数$f(x)=\log_2(x+1)-2$，
$\because f(x)＞0$，即 $\log_2(x+1)-2＞0$，
$\therefore\log_2(x+1)＞2$，$\therefore x+1＞4$，
$\therefore x＞3.\therefore x$的取值范围是$(3,+\infty)$.
(2)$\because x\in(-1,3]$，$\therefore x+1\in(0,4]$，
$\therefore\log_2(x+1)\in(-\infty,2]$，
$\therefore\log_2(x+1)-2\in(-\infty,0]$.
$\therefore f(x)$的值域为$(-\infty,0]$.

已知函数 $ f(x) = \ln(ax + 1) + \ln(x - 1) $ 的图象经过点 $ (3, 3\ln 2) $.
(1) 求 $ a $ 的值，及 $ f(x) $ 的定义域；
(2) 求关于 $ x $ 的不等式 $ f(x) \leq \ln(2x) $ 的解集.

答案：

(1) 由题意可得 $\ln(3a+1)+\ln(3-1)=3\ln2$，即
$\ln(3a+1)=2\ln2$，所以 $3a+1=4$，
解得$a=1$，
则$f(x)=\ln(x+1)+\ln(x-1)$.
由$\begin{cases}x+1＞0,\\x-1＞0,\end{cases}$解得$x＞1$.
所以$f(x)$的定义域为$(1,+\infty)$.
(2) 由
(1)可得$f(x)=\ln(x+1)+\ln(x-1)$
$=\ln(x^2-1),x＞1$，
不等式$f(x)\leq\ln(2x)$可化为$\ln(x^2-1)\leq\ln(2x)$，
因为$y=\ln x$在$(0,+\infty)$上是增函数，
所以$\begin{cases}0＜x^2-1\leq2x,\\x＞1,\end{cases}$
解得$1＜x\leq1+\sqrt{2}$.
故不等式$f(x)\leq\ln(2x)$的解集为$\{x|1＜x\leq1+\sqrt{2}\}$.

【问题】在同一坐标系下，画出函数 $ y = 2^{x} $ 与 $ y = \log_{2}x $ 的图象，观察两函数图象的关系.

答案：
提示

反函数：指数函数$ $（$ a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $）与对数函数 $ y = \log_{a}x $（$ a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $）互为反函数. 它们的定义域与值域正好互换.

答案： $y=a^x$

【例 3】若函数 $ y = f(x) $ 是函数 $ y = 2^{x} $ 的反函数，则 $ f(f(2)) $ 的值为()

A.16
B.0
C.1
D.2

答案： B

函数 $ y = \log_{3}x \left( \frac{1}{3} \leq x \leq 81 \right) $ 的反函数的定义域为()

A.$ (0, +\infty) $
B.$ \left( \frac{1}{3}, 81 \right) $
C.$ (1, 4) $
D.$ [-1, 4] $

答案： D