《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【例 $ 2 $】函数 $ y = \lg \frac{1 + x}{1 - x} $ 的定义域为____.

答案： (-1,1)因为y=lg(1+x/1-x)，所以1+x/1-x＞0，解得-1＜x＜1，
所以函数的定义域为(-1,1).

【跟踪训练 $ 2 $】函数 $ f(x) = \frac{1}{\ln (x + 1)} + \sqrt{9 - x^2} $ 的定义域为____.

答案： (-1,0)∪(0,3]由{x+1＞0,
x+1≠1,
9-x²≥0,
解得-1＜x＜0或0＜x≤3.
所以函数f(x)=1/ln(x+1)+√(9-x²)的定义域为(-1,0)∪(0,3].

【例 $ 3 $】某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过 $ 10 $ 万元时，按销售利润的 $ 15\% $ 进行奖励；当销售利润超过 $ 10 $ 万元时，若超出 $ A $ 万元，则超出部分按 $ 2\log_5 (A + 1) $ 进行奖励. 记奖金为 $ y $（单位：万元），销售利润为 $ x $（单位：万元）.
(1) 写出奖金 $ y $ 关于销售利润 $ x $ 的解析式；
(2) 如果业务员老江获得 $ 5.5 $ 万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？

答案： 解
(1)由题意知y={0.15x,0≤x≤10,
1.5+2log₅(x-9),x＞10.
(2)由题意知1.5+2log₅(x-9)=5.5，
即log₅(x-9)=2，
∴x-9=5²，解得x=34.
∴老江的销售利润是34万元.

【跟踪训练 $ 3 $】我国的 $ 5G $ 通信技术领先世界，$ 5G $ 技术的数学原理之一是著名的香农($ Shannon $)公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率 $ C $ 的公式 $ C = W · \log_2 \left( 1 + \frac{S}{N} \right) $，其中 $ W $ 是信道带宽(赫兹)，$ S $ 是信道内所传信号的平均功率(瓦)，$ N $ 是信道内部的高斯噪声功率(瓦)，其中 $ \frac{S}{N} $ 叫做信噪比.”根据此公式，在不改变 $ W $ 的前提下，将信噪比从 $ 99 $ 提升至 $ \lambda $，使得 $ C $ 大约增加了 $ 60\% $，则 $ \lambda $ 的值大约为(C)(参考数据：$ 10^{0.2} \approx 1.58 $)

A.$ 1559 $
B.$ 3943 $
C.$ 1579 $
D.$ 2512 $

答案： 【跟踪训练3】C由题意得Wlog₂(1+λ)-Wlog₂(1+99)/Wlog₂(1+99)≈60%，
则log₂(1+λ)/log₂100≈1.6,1+λ≈100¹·⁶=10³×10⁰·²≈1580，
∴λ≈1579.