《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【问题 1】 观察下表，你能发现什么？

答案： [问题1]　提示　对于表格中的几个角，同一个角的正弦与余弦的比值等于正切($\cos\alpha\neq0$)，正弦与余弦的平方和等于1.

【问题 2】 若 $ P(x,y) $ 是角 $ \alpha $ 的终边与单位圆的交点，则角 $ \alpha $ 的三个三角函数值之间有什么联系？

答案： [问题2]　提示　若余弦不为0，则正切等于正弦比余弦，即$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$；因为点P在单位圆上，则由勾股定理得$x^{2}+y^{2}=1$，即$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1$.

同角三角函数的基本关系
平方关系：$ \sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = $1.
商数关系：$ \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = $$\tan\alpha$ $ (\alpha \neq k\pi + \dfrac{\pi}{2},k \in \mathbf{Z}) $.
这就是说，同一个角 $ \alpha $ 的正弦、余弦的平方和等于 1，商等于角 $ \alpha $ 的正切.

答案： 1 $\tan\alpha$

(2) 已知 $ \tan\alpha = -4 $，求 $ \dfrac{4\sin\alpha - 2\cos\alpha}{5\cos\alpha + 3\sin\alpha} $ 的值.

答案： $\begin{aligned}\frac{4\sin\alpha - 2\cos\alpha}{5\cos\alpha + 3\sin\alpha}&=\frac{4\tan\alpha - 2}{5 + 3\tan\alpha}\\&=\frac{4×(-4)-2}{5 + 3×(-4)}\\&=\frac{-16 - 2}{5 - 12}\\&=\frac{-18}{-7}\\&=\frac{18}{7}\end{aligned}$