《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【问题2】 如课本51页图2.3-1,二次函数$y=x^{2}-12x+20$的图象与$x$轴有两个交点,这与方程$x^{2}-12x+20=0$的根有什么关系?

答案： 提示 函数图象与$x$轴交点的横坐标正好是方程的根．

【问题3】 你能从二次函数$y=x^{2}-12x+20$的图象上找到$x^{2}-12x+20＜0$的解集吗?

答案： 提示 从图象上看，位于$x$轴上方的函数值大于零，位于$x$轴下方的函数值小于零，故$x^{2} - 12x + 20 ＜ 0$的解集为$\{ x\mid2 ＜ x ＜ 10\}$．

1. 一般地,对于二次函数$y=ax^{2}+bx+c(a≠0)$,我们把使$ax^{2} + bx + c = 0$的实数$x$叫做二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的零点.

答案： 1.$ax^{2} + bx + c = 0$ 零点

2.

答案： 当$\Delta＞0$时，$ax^{2}+bx + c＞0(a＞0)$的解集为$\{x|x ＜ x_{1}$或$x ＞ x_{2}\}$；$ax^{2}+bx + c＜0(a＞0)$的解集为$\{x|x_{1} ＜ x ＜ x_{2}\}$。
当$\Delta = 0$时，$ax^{2}+bx + c＜0(a＞0)$的解集为$\varnothing$。
当$\Delta＜0$时，$ax^{2}+bx + c＜0(a＞0)$的解集为$\varnothing$。
综上，答案依次为：$\{x|x ＜ x_{1}$或$x ＞ x_{2}\}$；$\{x|x_{1} ＜ x ＜ x_{2}\}$；$\varnothing$；$\varnothing$。

【例2】 解下列不等式:
(1)$-2x^{2}+x-6＜0$;
(2)$-x^{2}+6x-9\geq0$;
(3)$x^{2}-2x-3＞0$.

答案：
解
(1)原不等式可化为$2x^{2} - x + 6 ＞ 0$．
因为方程$2x^{2} - x + 6 = 0$的判别式$\Delta = ( - 1)^{2} - 4 × 2 × 6 ＜ 0$，所以函数$y = 2x^{2} - x + 6$的图象开口
向上，与$x$轴无交点(如图所示)．

根据图象可得，原不等式的解集为$\mathbf{R}$．
(2)原不等式可化为$x^{2} - 6x + 9 \leq 0$，即$(x - 3)^{2} \leq0$，函数$y = (x - 3)^{2}$的图象如图所示，

根据图象可得，原不等式的解集为$\{ x\mid x = 3\}$．
(3)方程$x^{2} - 2x - 3 = 0$的两根是$x_{1} = - 1$，$x_{2}= 3$．
函数$y = x^{2} - 2x - 3$的图象是开口向上的抛物
线，与$x$轴有两个交点$(-1,0)$和$(3,0)$，如图
所示．

观察图象可得不等式的解集为$\{ x\mid x ＜ - 1$，或$x＞ 3\}$．