《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【例2】把下列数集用区间表示：
(1){x|x≥-1}；(2){x|x ＜ 0}；
(3){x|-1 ＜ x ＜ 1}；(4){x|0 ＜ x ＜ 1或2≤x≤4}。

答案： 【例2】 解
(1)$\{x\mid x\geq -1\}=[-1,+\infty)$.
(2)$\{x\mid x ＜ 0\}=(-\infty,0)$.
(3)$\{x\mid -1 ＜ x ＜ 1\}=(-1,1)$.
(4)$\{x\mid 0 ＜ x ＜ 1$或$2\leq x\leq 4\}=(0,1)\cup[2,4]$.

【跟踪训练2】(1)集合{x|-2 ＜ x≤2且x≠0}用区间表示为(-2,0)∪(0,2]；

答案：
(1)$(-2,0)\cup(0,2]$

(2)已知区间(a² + a + 1，7]，则实数a的取值范围是(-3,2)。

答案：
(2)(-3,2) 由题意可知$a^{2}+a + 1 ＜ 7$，即$a^{2}+a - 6 ＜ 0$，解得$-3 ＜ a ＜ 2$，所以实数a的取值范围是$(-3,2)$.

(2)已知函数f(x) = x + 1/x，则f(2) = 5/2；当a≠-1时，f(a + 1) = a + 1+1/(a + 1)。

答案：
(2)$\frac{5}{2}$ $a + 1+\frac{1}{a + 1}$ $f(2)=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，当$a\neq -1$时，$a + 1\neq 0$，所以$f(a + 1)=a + 1+\frac{1}{a + 1}$.

(2)求下列函数的定义域：
①y = 3 - 1/2x；②y = (x + 1)⁰/√(x + 2)；
③y = √(5 - x)/(|x| - 3)；④y = √(x + 1)/√(-x² - 3x + 4)。

答案：
(2)解 ①函数$y = 3-\frac{1}{2}x$的定义域为R.
②由于0的零次幂无意义，故$x + 1\neq 0，$即$x\neq -1.$
又x + 2 ＞ 0，即x ＞ -2，所以函数$y=\frac{(x + 1)^{0}}{\sqrt{x + 2}}$的定义域为$\{x\mid x ＞ -2且x\neq -1\}.$
③要使函数有意义，自变量x的取值必须满足$\begin{cases}5 - x\geq 0,\\\mid x\mid - 3\neq 0,\end{cases}$解得$x\leq 5$且$x\neq \pm 3，$所以函数$y=\frac{\sqrt{5 - x}}{\mid x\mid - 3}$的定义域为$\{x\mid x\leq 5且x\neq \pm 3\}.$
④要使函数有意义，则$\begin{cases}x + 1\geq 0,\\-x^{2}-3x + 4 ＞ 0,\end{cases}$即$\begin{cases}x\geq -1,\x + 4)(x - 1) $＜ 0,\end{cases}解不等式组得-1\leq x ＜ 1.
所以函数$y=\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{-x^{2}-3x + 4}}$的定义域为$\{x\mid -1\leq x ＜ 1\}.$