《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【例3】已知集合A = {x|ax² + 2x + 1 = 0，a∈R}，若A中只有一个元素，求a的值.

答案： 解 当a=0时，原方程变为2x+1=0，此时$x=−\frac{1}{2}，$符合题意；
当a≠0时，方程$ax^{2}+2x+1=0$为一元二次方程，
当Δ=4−4a=0，即a=1时，原方程的解为x=−1，符合题意．
故当A中只有一个元素时，a的值为0或1．

【跟踪训练3】集合A = {x|(x - 1)(x² - 4x + a) = 0，a∈R}中恰好有两个元素，则实数a的值为3或4.

答案： 3或4 由方程$(x−1)(x^{2}−4x+a)=0，$
解得x=1或$x^{2}−4x+a=0，$
当$x^{2}−4x+a=0$存在两个相等的实数根时，$Δ=(−4)^{2}−4×1×a=0，$
解得a=3，此时$Δ=(−4)^{2}−4×1×3=4＞0，$
则方程另一个解为x=3，符合题意．
综上所述，当a=3或4时，集合A中恰好有两个元素．

1. 集合{x∈N*|x - 2 ≤ 1}的另一种表示法是(B)

A.{0,1,2,3}
B.{1,2,3}
C.{0,1,2,3,4}
D.{1,2,3,4}

答案： 1.B 因为$x−2≤1,x∈N^{*}，$所以$x≤3,x∈N^{*}，$从而x=1,2,3．

2. 对集合{1, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{5}$}用描述法来表示，其中正确的一个是(D)

A.{x|x = $\frac{1}{n}$，n∈Z，且n ＜ 5}
B.{x|x = $\frac{1}{n}$，n∈Z，且n ≤ 5}
C.{x|x = $\frac{1}{n}$，n∈N*，且n ＜ 5}
D.{x|x = $\frac{1}{n}$，n∈N*，且n ≤ 5}

答案： 2.D A，B中x可以表示负数，C中没有元素$−\frac{1}{5}．$

3. (多选)下列说法中正确的是(BC)

A.0与{0}表示同一个集合
B.由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}
C.方程(x - 1)²(x - 2) = 0的所有解组成的集合可表示为{1,2}
D.集合{x|4 ＜ x ＜ 5}可以用列举法表示

答案： 3.BC A中“0”不能表示集合，而“{0}”可以表示集合，故A错误；根据集合中元素的无序性可知B正确；根据集合中元素的互异性可知C正确；D不能用列举法表示，原因是集合中有无数个元素，不能一一列举．

4. 用列举法表示集合D = {(x,y)|y = -x² + 8，x∈N，y∈N}为{(0,8),(1,7),(2,4)}.

答案： 4.{(0,8),(1,7),(2,4)}