《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【例 3】 解下列关于 $ x $ 的不等式：
(1) $ \log_{\frac{1}{7}}x ＞ \log_{\frac{1}{7}}(4 - x) $；
(2) $ \log_{a}(2x - 5) ＞ \log_{a}(x - 1) $；
(3) $ \log_{x}\frac{1}{2} ＞ 1 $.

答案： 【例3】解
(1)由题意可得$\begin{cases} x ＞ 0, \\ 4 - x ＞ 0, \end{cases}$解得$0 ＜ x ＜ 2$.
所以原不等式的解集为$\{x \mid 0 ＜ x ＜ 2\}$.
(2)当$a ＞ 1$时，原不等式等价于$\begin{cases} 2x - 5 ＞ 0, \\ x - 1 ＞ 0, \\ 2x - 5 ＞ x - 1. \end{cases}$
解得$x ＞ 4$.
当$0 ＜ a ＜ 1$时，原不等式等价于$\begin{cases} 2x - 5 ＞ 0, \\ x - 1 ＞ 0, \\ 2x - 5 ＜ x - 1. \end{cases}$
解得$\frac{5}{2} ＜ x ＜ 4$.
综上所述，当$a ＞ 1$时，原不等式的解集为$\{x \mid x ＞ 4\}$；
当$0 ＜ a ＜ 1$时，原不等式的解集为
$\{x \mid \frac{5}{2} ＜ x ＜ 4\}$.
(3)当$x ＞ 1$时，$\log_x\frac{1}{2} ＞ \log_xx$，
所以$x ＜ \frac{1}{2}$，无解；
当$0 ＜ x ＜ 1$时，$\log_x\frac{1}{2} ＞ \log_xx$，
所以$\frac{1}{2} ＜ x ＜ 1$.
综上，原不等式的解集为$(\frac{1}{2},1)$.

(1) 求满足不等式 $ \log_{3}x ＜ 1 $ 的 $ x $ 的取值集合；

答案：
(1)
∵$\log_3x ＜ 1 = \log_33$，
又函数$y = \log_3x$在$(0, +\infty)$上为增函数，
∴$x$满足的条件为$\begin{cases} x ＞ 0, \\ x ＜ 3, \end{cases}$
∴$x$的取值集合为$\{x \mid 0 ＜ x ＜ 3\}$.

(2) 已知 $ \log_{0.7}(2x) ＜ \log_{0.7}(x - 1) $，求 $ x $ 的取值范围.

答案：
(2)
∵函数$y = \log_{0.7}x$在$(0, +\infty)$上为减函数，
由$\log_{0.7}(2x) ＜ \log_{0.7}(x - 1)$，
得$\begin{cases} 2x ＞ 0, \\ x - 1 ＞ 0, \\ 2x ＞ x - 1, \end{cases}$
解得$x ＞ 1$.
∴$x$的取值范围是$(1, +\infty)$.

1. 函数 $ y = \log_{a}x, y = \log_{b}x, y = \log_{c}x, y = \log_{d}x $ 的图象如图所示，则 $ a, b, c, d $ 的大小顺序是 (B)


A.$ 1 ＜ d ＜ c ＜ a ＜ b $
B.$ c ＜ d ＜ 1 ＜ a ＜ b $
C.$ c ＜ d ＜ 1 ＜ b ＜ a $
D.$ d ＜ c ＜ 1 ＜ a ＜ b $

答案： 1.B 令函数$y = \log_2x,y = \log_bx,y = \log_6x,y = \log_dx$取同样的函数值
1，得到的自变量的值恰好分别是$a,b,c,d$.直线$y = 1$从左到右依次
与上述四个函数的图象交于$A(c,1),B(d,1),C(a,1),D(b,1)$(图
略)，从而得出$c ＜ d ＜ a ＜ b$.又$a ＞ 1,b ＞ 1,d ＜ 1,c ＜ 1$，
∴$c ＜ d ＜ 1 ＜ a＜ b$.

2. 若 $ \lg(2x - 4) \leq 1 $，则 $ x $ 的取值范围是 (B)

A.$ (-\infty, 7] $
B.$ (2, 7] $
C.$ [7, +\infty) $
D.$ (2, +\infty) $

答案： 2.B 由$\lg(2x - 4) \leq 1$，得$0 ＜ 2x - 4 \leq 10$，即$2 ＜ x \leq 7$.

3. 不等式 $ \log_{\frac{1}{2}}(2x + 3) ＜ \log_{\frac{1}{2}}(5x - 6) $ 的解集为 (D)

A.$ (-\infty, 3) $
B.$ \left( -\frac{3}{2}, 3 \right) $
C.$ \left( -\frac{3}{2}, \frac{6}{5} \right) $
D.$ \left( \frac{6}{5}, 3 \right) $

答案： 3.D 由题意可得$\begin{cases} 5x - 6 ＞ 0, \\ 2x + 3 ＞ 0, \\ 2x + 3 ＞ 5x - 6, \end{cases}$
解得$\frac{6}{5} ＜ x ＜ 3$.

4. 若 $ \log_{a}\frac{2}{3} ＜ 1 $，则实数 $ a $ 的取值范围是(0, \frac{2}{3})\cup (1, +\infty).

答案： 4.$(0, \frac{2}{3}) \cup (1, +\infty)$ 当$a ＞ 1$时，满足条件；
当$0 ＜ a ＜ 1$时，由$\begin{cases} 0 ＜ a ＜ 1, \\ \log_a\frac{2}{3} ＜ \log_aa, \end{cases}$
得$0 ＜ a ＜ \frac{2}{3}$
综上，实数$a$的取值范围是$(0, \frac{2}{3}) \cup (1, +\infty)$.