《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

1. 已知$y = f(x)$，$x\in(-a,a)$，$F(x)=f(x)+f(-x)$，则$F(x)$是(B)

A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数

答案： 1.B
∵$F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x)$，又$x \in (-a,a)$关于原点对称，$\therefore F(x)$是偶函数.

2. 若$f(x)=3x^{3}+5x + a - 1$为$\mathbf{R}$上的奇函数，则$a$的值为(C)

A.0
B.$-1$
C.1
D.2

答案： 2.C
∵$f(x)$为$\mathbf{R}$上的奇函数，$\therefore f(0)=0$，得$a = 1$.

3. (多选)下列函数是奇函数的是(CD)

A.$y = x(x\in[0,1])$
B.$y = 3x^{2}$
C.$y=\frac{1}{x}$
D.$y = x|x|$

答案： 3.CD　利用奇函数的定义，首先定义域关于原点对称，排除选项A；又奇函数需满足$f(-x)= -f(x)$，排除选项B.

4. 已知函数$y = f(x)$为偶函数，其图象与$x$轴有四个交点，则方程$f(x)=0$的所有实根之和是$0$.

答案： 4.0　由于偶函数的图象关于$y$轴对称，所以偶函数的图象与$x$轴的交点也关于$y$轴对称，因此，四个交点中，有两个在$x$轴的负半轴上，另两个在$x$轴的正半轴上，所以四个实根的和为$0$.

【例 1】（1）若$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，当$x＞0$时，$f(x)=x^{2}-2x+3$，求$f(x)$的解析式；

答案： 解
(1)当x＜0时，-x＞0，
f(-x)=(-x)² - 2(-x) + 3 = x² + 2x + 3，
由于f(x)是奇函数，故f(x)= - f(-x)，
所以f(x)= - x² - 2x - 3。
即当x＜0时，f(x)= - x² - 2x - 3。
又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f
(0)=0。
故f(x) = $\begin{cases}x² - 2x + 3, & x＞0, \\ 0, & x=0, \\ -x² - 2x - 3, & x＜0.\end{cases}$

(2)设$f(x)$是偶函数，$g(x)$是奇函数，且$f(x)+g(x)=\frac{1}{x - 1}$，求函数$f(x)$，$g(x)$的解析式.

答案：
(2)
∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(-x)=f(x)，g(-x)= - g(x)，
由f(x) + g(x) = $\frac{1}{x - 1}$，①
用 - x代替上式中的x，得f(-x) + g(-x) = $\frac{1}{-x - 1}$，
∴f(x) - g(x) = $\frac{1}{-x - 1}$，②
(① + ②)÷2，得f(x) = $\frac{1}{x² - 1}$；
(① - ②)÷2，得g(x) = $\frac{x}{x² - 1}$。