《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【问题1】下面几个实例，观察它们得出的函数解析式，有什么共同特征？
(1)如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜ωkg，那么她需要支付p=ω元，这里p是ω的函数；
(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a²，这里S是a的函数；
(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b³，这里V是b的函数；
(4)如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长c=√S，这里c是S的函数；
(5)如果某人t s内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度v=1/t km/s，即v=t⁻¹，这里v是t的函数。

答案： 提示 这些函数的解析式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数都是常数．

幂函数的概念
一般地，函数$y=x^{\alpha}$叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数。

答案： 一般地，函数$y=x^{\alpha}$叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数。

【例1】(1)下列函数中是幂函数的有(A)

A.y=1/x²
B.y=2x²
C.y=x²+x
D.y=1

答案：
(1)A 因为$y=\frac{1}{x^{2}}=x^{-2}$，所以A项是幂函数；$y=2x^{2}$由于自变量前出现系数2，所以B项不是幂函数；$y=x^{2}+x$是两项和的形式，所以C项不是幂函数；$y=1=x^{0}(x\neq0)$，可以看出，常函数$y=1$的图象比幂函数$y=x^{0}$的图象多了一个点$(0,1)$，所以D项不是幂函数．

(2)已知$y=(m²+2m−2)x^{m²−2}+2n−3$是幂函数，求m，n的值。

答案：
(2)解 由题意得$\begin{cases}m^{2}+2m - 2=1,\\2n - 3=0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-3,\\n=\frac{3}{2}\end{cases}$或$\begin{cases}m=1,\\n=\frac{3}{2}.\end{cases}$
所以$m=-3$或$m=1$，$n=\frac{3}{2}$．

若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)=16，则f(−4)=16。

答案： 16 设$f(x)=x^{\alpha}$，$\because f(4)=16$，$\therefore4^{\alpha}=16$，解得$\alpha=2$，$\therefore f(x)=x^{2}$，$\therefore f(-4)=(-4)^{2}=16$．