《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

(2) 证明：$ \dfrac{\sin\alpha - \cos\alpha + 1}{\sin\alpha + \cos\alpha - 1} = \dfrac{1 + \sin\alpha}{\cos\alpha} $.

答案：
(2)证明　方法一 左边$=\frac{(\sin\alpha-\cos\alpha + 1)(\sin\alpha+\cos\alpha + 1)}{(\sin\alpha+\cos\alpha - 1)(\sin\alpha+\cos\alpha + 1)}$ $=\frac{(\sin\alpha + 1)^{2}-\cos^{2}\alpha}{(\sin\alpha+\cos\alpha)^{2}-1}$ $=\frac{\sin^{2}\alpha+2\sin\alpha + 1-\cos^{2}\alpha}{2\sin\alpha\cos\alpha}$ $=\frac{\sin\alpha + 1}{\cos\alpha}=$右边. 所以原等式成立. 方法二　因为$(\sin\alpha-\cos\alpha + 1)\cos\alpha=\sin\alpha\cos\alpha-\cos^{2}\alpha+\cos\alpha$ $=\cos\alpha(\sin\alpha + 1)-(1+\sin\alpha)(1 - \sin\alpha)$ $=(1+\sin\alpha)(\cos\alpha-1+\sin\alpha)$ 且$\sin\alpha+\cos\alpha-1\neq0$，$\cos\alpha\neq0$， 所以$\frac{\sin\alpha-\cos\alpha + 1}{\sin\alpha+\cos\alpha - 1}=\frac{1+\sin\alpha}{\cos\alpha}$.

【跟踪训练 3】 (1) 化简：$ \dfrac{2\cos^{2}\alpha - 1}{1 - 2\sin^{2}\alpha} + (1 + \tan^{2}\alpha)\cos^{2}\alpha $；

答案：
(1)解　原式$=\frac{2\cos^{2}\alpha-(\sin^{2}\alpha-\cos^{2}\alpha)}{1 + \sin^{2}\alpha}+\cos^{2}\alpha$ $=\frac{\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha}·\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha$ $=1 + 1=2$.

(2) 求证：$ \dfrac{1 + 2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^{2}\alpha - \cos^{2}\alpha} = \dfrac{\tan\alpha + 1}{\tan\alpha - 1} $.

答案：
(2)证明　方法一 左边$=\frac{\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^{2}\alpha-\cos^{2}\alpha}$ $=\frac{(\sin\alpha+\cos\alpha)^{2}}{\sin^{2}\alpha-\cos^{2}\alpha}=\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=\frac{\tan\alpha + 1}{\tan\alpha - 1}=$右边. 所以原等式成立. 方法二　右边$=\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+1}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}-1}=\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}$ $=\frac{(\sin\alpha+\cos\alpha)^{2}}{(\sin\alpha-\cos\alpha)(\sin\alpha+\cos\alpha)}$ $=\frac{1 + 2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^{2}\alpha-\cos^{2}\alpha}=$左边. 所以原等式成立.

1. 已知 $ \tan\alpha = \dfrac{3}{4} $，$ \alpha \in \left( \pi, \dfrac{3\pi}{2} \right) $，则 $ \cos\alpha $ 的值是(C)

A.$ \pm \dfrac{4}{5} $
B.$ \dfrac{4}{5} $
C.$ -\dfrac{4}{5} $
D.$ \dfrac{3}{5} $

答案： 1.C　由$\tan\alpha=\frac{3}{4}$，可得$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{3}{4}$， 又$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha = 1$，可得$\frac{9}{16}\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha = 1$， 解得$\cos^{2}\alpha=\frac{16}{25}$，因为$\alpha\in(\pi,\frac{3\pi}{2})$，所以$\cos\alpha=-\frac{4}{5}$.

2. 若 $ \tan\alpha = 2 $，则 $ \dfrac{2\sin\alpha - \cos\alpha}{\sin\alpha + 2\cos\alpha} $ 的值为(B)

A.0
B.$ \dfrac{3}{4} $
C.1
D.$ \dfrac{5}{4} $

答案： 2.B　$\frac{2\sin\alpha-\cos\alpha}{\sin\alpha+2\cos\alpha}=\frac{2\tan\alpha - 1}{\tan\alpha+2}=\frac{3}{4}$.

3. 已知 $ \sin\alpha - \cos\alpha = -\dfrac{5}{4} $，则 $ \sin\alpha\cos\alpha $ 等于(C)

A.$ \dfrac{\sqrt{7}}{4} $
B.$ -\dfrac{9}{16} $
C.$ -\dfrac{9}{32} $
D.$ \dfrac{9}{32} $

答案： 3.C　由题意得$(\sin\alpha-\cos\alpha)^{2}=\frac{25}{16}$， 即$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{25}{16}$， 又$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha = 1$，
∴$1-2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{25}{16}$，
∴$\sin\alpha\cos\alpha=-\frac{9}{32}$.

4. 若 $ 2\sin\alpha + \cos\alpha = 0 $，则 $ \dfrac{\cos\alpha}{1 + \cos\alpha} - \dfrac{\cos\alpha}{1 - \cos\alpha} = $______.

答案： 4.−8　$\frac{\cos\alpha}{1+\cos\alpha}-\frac{\cos\alpha}{1-\cos\alpha}$ $=\frac{\cos\alpha(1-\cos\alpha)-\cos\alpha(1+\cos\alpha)}{(1+\cos\alpha)(1-\cos\alpha)}$ $=\frac{-2\cos^{2}\alpha}{1-\cos^{2}\alpha}=-\frac{2\cos^{2}\alpha}{\sin^{2}\alpha}=-\frac{2}{\tan^{2}\alpha}$
∵$2\sin\alpha+\cos\alpha = 0$，
∴$\tan\alpha=-\frac{1}{2}$，
∴原式$=\frac{-2}{(-\frac{1}{2})^{2}}=-8$.