《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【例 4】小明的爸爸要在家用围栏做一个面积为 $16m^{2}$ 的矩形游乐园，当这个矩形的边长为多少时，所用围栏最省，并求所需围栏的长度.

答案： 解　设矩形围栏相邻两条边长分别为xm,ym，围栏的长度为2(x+y)m.
方法一　由已知得xy=16,
由$\frac{x+y}{2}$≥$\sqrt{xy}$,可知x+y≥2$\sqrt{xy}$=8,
所以2(x+y)≥16,
当且仅当x=y=4时，等号成立，
因此，当这个矩形游乐园是边长为4m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16m.
方法二　由已知xy=16,得y=$\frac{16}{x}$,
所以2(x+y)=2(x+$\frac{16}{x}$)≥2×2$\sqrt{x·\frac{16}{x}}$=16.
当且仅当x=y=4时，等号成立，
因此，当这个矩形游乐园是边长为4m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16m.

【跟踪训练 4】某单位用 2160 万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少 10 层，每层 2000 平方米的楼房. 经测算，若将楼房建为 $x(x\geq10)$ 层，则每平方米的平均建筑费用为 $560+48x$ (单位：元). 为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
注：平均综合费用 = 平均建筑费用 + 平均购地费用，平均购地费用 = $\frac{购地总费用}{建筑总面积}$.

答案： 解　设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为$\frac{2160×10^{4}}{2000x}$=$\frac{10800}{x}$,
设每平方米的平均综合费用为y元，
则y=560+48x+$\frac{10800}{x}$=560+48(x+$\frac{225}{x}$).
当x+$\frac{225}{x}$取最小值时，y有最小值.
∵x＞0,
∴x+$\frac{225}{x}$≥2$\sqrt{x·\frac{225}{x}}$=30,
当且仅当x=$\frac{225}{x}$,即x=15时,等号成立.
∴当x=15时，y有最小值2000.
因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少.

1. 已知 $a＞0,b＞0,a+b=2$，则 $\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$ 的最小值是(C)

A.$\frac{7}{2}$
B.4
C.$\frac{9}{2}$
D.5

答案： 1.C
∵a＞0,b＞0,a+b=2,
∴$\frac{a}{2}$+$\frac{b}{2}$=1,
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$=($\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$)($\frac{a}{2}$+$\frac{b}{2}$)=$\frac{5}{2}$+$\frac{b}{2a}$+$\frac{2a}{b}$≥$\frac{5}{2}$+2$\sqrt{\frac{b}{2a}·\frac{2a}{b}}$=$\frac{9}{2}$,
当且仅当b=2a,即a=$\frac{2}{3}$,b=$\frac{4}{3}$时取等号.

2. 若正实数 $x,y$ 满足 $xy+3x=3$，则 $12x+y$ 的最小值为(C)

A.7
B.8
C.9
D.10

答案： 2.C
∵x＞0,y＞0,xy=3−3x＞0,
∴0＜x＜1,y=$\frac{3−3x}{x}$,
∴12x+y=12x+$\frac{3−3x}{x}$=12x+$\frac{3}{x}$−3 ≥2$\sqrt{12x·\frac{3}{x}}$−3=9,
当且仅当12x=$\frac{3}{x}$,即x=$\frac{1}{2}$时取等号，
∴12x+y的最小值为9.

3. 用一段长为 8 cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为(C)

A.$9cm^{2}$
B.$16cm^{2}$
C.$4cm^{2}$
D.$5cm^{2}$

答案： 3.C　设矩形模型的长和宽分别为x,y，
则x＞0,y＞0,
由题意可得2(x+y)=8,
所以x+y=4,
所以矩形模型的面积S=xy≤$\frac{(x+y)^{2}}{4}$=$\frac{4^{2}}{4}$=4,当且仅当x=y=2 时，等号成立，
所以当矩形模型的长和宽都为2cm时，面积最大，为4cm².

4. 已知 $x,y$ 是正数且 $x+y=1$，则 $\frac{4}{x+2}+\frac{1}{y+1}$ 的最小值为(B)

A.$\frac{13}{15}$
B.$\frac{9}{4}$
C.2
D.3

答案： 4.B　由x+y=1,得(x+2)+(y+1)=4,
即$\frac{1}{4}$[(x+2)+(y+1)]=1,
∴$\frac{4}{x+2}$+$\frac{1}{y+1}$=($\frac{4}{x+2}$+$\frac{1}{y+1}$)·$\frac{1}{4}$[(x+2)+(y+1)]=$\frac{1}{4}$[4+1+$\frac{4(y+1)}{x+2}$+$\frac{x+2}{y+1}$]≥$\frac{1}{4}$×(5+4)=$\frac{9}{4}$
当且仅当$\frac{4(y+1)}{x+2}$=$\frac{x+2}{y+1}$,
即x=$\frac{2}{3}$,y=$\frac{1}{3}$时等号成立.
∴$\frac{4}{x+2}$+$\frac{1}{y+1}$的最小值为$\frac{9}{4}$.