《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【例3】 某厂生产某种零件,每个零件的成本为 $ 30 $ 元,出厂单价定为 $ 52 $ 元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过 $ 100 $ 个时,每多订购一个,订购的全部零件的出厂单价就降低 $ 0.02 $ 元,但实际出厂单价不能低于 $ 41 $ 元.
(1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰好降为 $ 41 $ 元?
(2)设一次订购量为 $ x $ 个,零件的实际出厂单价为 $ P $ 元,写出函数 $ P = f(x) $ 的表达式.

答案： 解　
(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为41元时，一次订购量为$x_{0}$个，
则$x_{0}=100+\frac{52 - 41}{0.02}=650$．
(2)当$0 ＜ x \leq 100$时，$P = 52$；当$100 ＜ x ＜ 650$时，$P = 52 - 0.02(x - 100)=54-\frac{x}{50}$；
当$x \geq 650$时，$P = 41$．
$\therefore P = f(x)=\begin{cases}52,0 ＜ x \leq 100, \\54-\frac{x}{50},100 ＜ x ＜ 650,x \in \mathbf{N}, \\41,x \geq 650.\end{cases}$

【跟踪训练3】 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定:
(1)$ 5 km $ 以内(含 $ 5 km $),票价 $ 2 $ 元;
(2)$ 5 km $ 以上,每增加 $ 5 km $,票价增加 $ 1 $ 元(不足 $ 5 km $ 的按 $ 5 km $ 计算).
如果某条线路的总里程为 $ 20 km $,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象.

答案：
解　设票价为y元，里程为x公里.
由题意可知，自变量x的取值范围是$(0,20]$．
由“招手即停”公共汽车票价的制定规则，可得到以下函数解析式：
$y=\begin{cases}2,0 ＜ x \leq 5, \\3,5 ＜ x \leq 10, \\4,10 ＜ x \leq 15, \\5,15 ＜ x \leq 20.\end{cases}$
函数图象

1. 下列图象是函数 $ y = x|x| $ 的图象的是(D)

答案： 1.D　函数$y = x|x|=\begin{cases}x^{2},x \geq 0, \\-x^{2},x ＜ 0.\end{cases}$

2. (多选)设函数 $ f(x)=\begin{cases}-x,x\leqslant0,\\x^{2},x\gt0,\end{cases}$ 若 $ f(a)=4 $,则实数 $ a $ 等于( )

A.$-4$
B.$2$
C.$4$
D.$-2$

答案： 2.AB　由$\begin{cases}a \leq 0, \\-a = 4\end{cases}$或$\begin{cases}a ＞ 0, \\a^{2} = 4,\end{cases}$得$a = -4$或$a = 2$．

3. 已知函数 $ f(x)=\begin{cases}x - 2,x\lt2,\\f(x - 1),x\geqslant2,\end{cases}$ 则 $ f(2) $ 等于( )

A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$

答案： 3.A　$f(2)=f(2 - 1)=f(1)=1 - 2=-1$．

4. 函数 $ f(x)=\begin{cases}x + 2,x\leqslant - 1,\\x^{2},-1\lt x\lt2,\end{cases}$ 若 $ f(x)=3 $,则 $ x $ 的值是 ______ .

答案： 4.$\sqrt{3}$　当$x \leq -1$时，$x + 2 = 3$，得$x = 1$，舍去；
当$-1 ＜ x ＜ 2$时，$x^{2} = 3$得$x = \sqrt{3}$或$x = -\sqrt{3}$(舍去)．