《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【例3】某化工厂生产一种溶液，按市场需求，杂质含量不能超过$0.1\%$.若初始时含杂质$2\%$，每过滤一次可使杂质含量减少$\frac{1}{3}$，要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为(已知：$\lg2\approx0.3010$，$\lg3\approx0.4771$)(C)

A.$6$
B.$7$
C.$8$
D.$9$

答案： C 设至少需要过滤$n$次，
则$0.02×(1 - \frac{1}{3})^{n}=0.001$，即$(\frac{2}{3})^{n}=\frac{1}{20}$.
所以$n\lg\frac{2}{3}=\lg\frac{1}{20}$，即$n(\lg2 - \lg3)=-\lg20$，
即$n=\frac{-\lg20}{\lg2 - \lg3}=\frac{1 + \lg2}{\lg3 - \lg2}\approx7.4$.
又$n\in\mathbf{N}$，所以$n\geqslant8$.
所以至少过滤$8$次才能使产品达到市场要求.

在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度$v$（单位：$m/s$）和燃料的质量$M$（单位：$kg$）、火箭（除燃料外）的质量$m$（单位：$kg$）满足$e^{v}=(1+\frac{M}{m})^{2000}$（$e$为自然对数的底数，$\ln3\approx1.099$）.当燃料质量$M$为火箭（除燃料外）质量$m$的两倍时，求火箭的最大速度.

答案： 解 因为$v=\ln(1+\frac{M}{m})^{\frac{2000}{m}}$
$=2000\ln(1+\frac{M}{m})$，且$M = 2m$，
所以$v = 2000×\ln3\approx2000×1.099 = 2198(m/s)$.
故当燃料质量$M$为火箭质量$m$的两倍时，火箭的最大速度约为$2198m/s$.

1. $\log_{2}9×\log_{3}4$等于(D)

A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$2$
D.$4$

答案： 1.D 方法一 原式$=\frac{\lg9}{\lg2}×\frac{\lg4}{\lg3}×\frac{2\lg3×2\lg2}{\lg2×\lg3}=4$.
方法二 原式$=2\log_{2}3×\frac{\log_{2}4}{\log_{2}3}=2×2 = 4$.

2. 已知$x$，$y$为正实数，则(D)

A.$2^{\lg x+\lg y}=2^{\lg x}+2^{\lg y}$
B.$2^{\lg(x+y)}=2^{\lg x}·2^{\lg y}$
C.$2^{\lg x·\lg y}=2^{\lg x}+2^{\lg y}$
D.$2^{\lg(xy)}=2^{\lg x}·2^{\lg y}$

答案： 2.D $2^{\lgx}·2^{\lgy}=2^{\lgx+\lgy}=2^{\lg(xy)}$. 故选D.

3. 已知$\lg2=a$，$\lg3=b$，则$\log_{3}6$等于(B)

A.$\frac{a+b}{a}$
B.$\frac{a+b}{b}$
C.$\frac{a}{a+b}$
D.$\frac{b}{a+b}$

答案： 3.B $\log_{3}6=\frac{\lg6}{\lg3}=\frac{\lg2+\lg3}{\lg3}=\frac{a + b}{b}$.

4. 若实数$a$，$b$满足$3^{a}=4^{b}=12$，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=$(D)

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{5}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$1$

答案： 4.D 因为$3^{a}=4^{b}=12$，所以$a=\log_{3}12,b=\log_{4}12$，
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{\log_{3}12}+\frac{1}{\log_{4}12}=\log_{12}3+\log_{12}4=\log_{12}12 = 1$.