《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【跟踪训练 2】已知全集 $ U = \mathbf{R} $，$ A = \{ x | -4 \leq x ＜ 2 \} $，$ B = \{ x | -1 ＜ x \leq 3 \} $，$ P = \{ x | x \leq 0 $，或 $ x \geq \frac{5}{2} \} $，求 $ A \cap B $，$ (\complement_U B) \cup P $，$ (A \cap B) \cap (\complement_U P) $.

答案：
解　将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示.

因为$U = R$，$A = \{x|-4 \leq x ＜ 2\}$，$B = \{x|-1 ＜ x \leq 3\}$，
所以$A \cap B = \{x|-1 ＜ x ＜ 2\}$，
$\complement_U B = \{x|x \leq -1,或x ＞ 3\}$.
又$P = \{x|x \leq 0,或x \geq \frac{5}{2}\}$，
所以$(\complement_U B) \cup P = \{x|x \leq 0,或x \geq \frac{5}{2}\}$
又$\complement_U P = \{x|0 ＜ x ＜ \frac{5}{2}\}$，所以$(A \cap B) \cap (\complement_U P)$
$= \{x|-1 ＜ x ＜ 2\} \cap \{x|0 ＜ x ＜ \frac{5}{2}\}$
$= \{x|0 ＜ x ＜ 2\}$.

【例 3】已知全集 $ U = \mathbf{R} $，集合 $ A = \{ x | x \leq -2 $，或 $ x \geq 3 \} $，$ B = \{ x | 2m + 1 ＜ x ＜ m + 7 \} $，若 $ (\complement_U A) \cap B = B $，求实数 $ m $ 的取值范围.
延伸探究 若把本例的条件“$ (\complement_U A) \cap B = B $”改为“$ (\complement_U A) \cup B = B $”，则实数 $ m $ 的取值范围为$\{m|-4 \leq m \leq -\frac{3}{2}\}$.

答案： 解　因为$A = \{x|x \leq -2,或x \geq 3\}$，
所以$\complement_U A = \{x|-2 ＜ x ＜ 3\}$，
因为$(\complement_U A) \cap B = B$，所以$B \subseteq (\complement_U A)$.
当$B = \varnothing$时，即$2m + 1 \geq m + 7$，
所以$m \geq 6$，满足$(\complement_U A) \cap B = B$.
当$B \neq \varnothing$时，则$\begin{cases}2m + 1 ＜ m + 7 \\m + 7 \leq 3 \\2m + 1 \geq -2\end{cases}$无解.
故实数m的取值范围是$\{m|m \geq 6\}$.
延伸探究　$\{m|-4 \leq m \leq -\frac{3}{2}\}$　因为$(\complement_U A) \cup B = B$，所以$(\complement_U A) \subseteq B$，
所以$\begin{cases}2m + 1 ＜ m + 7 \\2m + 1 \leq -2 \\m + 7 \geq 3\end{cases}$，解得$-4 \leq m \leq -\frac{3}{2}$
故实数m的取值范围为$\{m|-4 \leq m \leq -\frac{3}{2}\}$.

【跟踪训练 3】已知集合 $ U = \mathbf{R} $，$ A = \{ x | x ＞ 2 $，或 $ x ＜ -2 \} $，$ B = \{ x | x \leq a \} $.
(1) 当 $ a = 1 $ 时，求 $ A \cap B $，$ A \cup B $；
(2) 若 $ (\complement_U A) \subseteq B $，求实数 $ a $ 的取值范围.

答案： 解　
(1)当$a = 1$时，$B = \{x|x \leq 1\}$，又$A = \{x|x ＞ 2,或x ＜ -2\}$，
所以$A \cap B = \{x|x ＜ -2\}$，$A \cup B = \{x|x \leq 1,或x ＞ 2\}$.
(2)因为$\complement_U A = \{x|-2 \leq x \leq 2\}$，$B = \{x|x \leq a\}$，且$(\complement_U A) \subseteq B$，
所以$a \geq 2$.