《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【例 3】设定义在$[-2,2]$上的奇函数$f(x)$在区间$[0,2]$上单调递减，若$f(1 - m) ＜ f(m)$，求实数$m$的取值范围.

答案： 解 因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上单调递减，
所以f(x)在[-2,2]上单调递减。
所以不等式f(1 - m)＜f(m)等价于
$\begin{cases}1 - m＞m, \\ -2\leq m\leq 2, \\ -2\leq 1 - m\leq 2,\end{cases}$
解得 - 1≤m＜$\frac{1}{2}$。
所以实数m的取值范围为[-1, $\frac{1}{2}$)。

已知$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的偶函数，且在区间$(-\infty,0)$上单调递增. 若$f(-3)=0$，则$\frac{f(x)}{x} ＜ 0$的解集为{x|-3＜x＜0或x＞3}.

答案： {x|-3＜x＜0或x＞3}
∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(-∞,0)上单调递增，
∴f(x)在区间(0, +∞)上单调递减。
f
(3)=f(-3)=0。
当x＞0时，由f(x)＜0，
解得x＞3；
当x＜0时，由f(x)＞0，
解得 - 3＜x＜0。
故所求解集为{x|-3＜x＜0或x＞3}。

1. 若函数$f(x)=ax^{2}+(2 + a)x + 1$是偶函数，则函数$f(x)$的单调递增区间为(A)

A.$(-\infty,0]$
B.$[0,+\infty)$
C.$(-\infty,+\infty)$
D.$[1,+\infty)$

答案： A 因为函数为偶函数，所以a + 2 = 0，a = - 2，
即函数f(x)= - 2x² + 1，
所以函数f(x)在(-∞,0]上单调递增。

2. 如果奇函数$f(x)$在区间$[-3,-1]$上单调递增且有最大值$5$，那么函数$f(x)$在区间$[1,3]$上(A)

A.单调递增且最小值为$-5$
B.单调递增且最大值为$-5$
C.单调递减且最小值为$-5$
D.单调递减且最大值为$-5$

答案： A
∵f(x)为奇函数，
∴f(x)在[1,3]上的单调性与[-3,-1]上一致且f
(1)为最小值，
又已知f(-1)=5，
∴f(-1)= - f
(1)=5，
∴f
(1)= - 5。

3. 设函数$f(x)=\begin{cases}x^{2}+x,x\geq0,\\g(x),x ＜ 0,\end{cases}$且$f(x)$为偶函数，则$g(-2)$等于( )

A.$6$
B.$-6$
C.$2$
D.$-2$

答案： A g(-2)=f(-2)=f
(2)=2² + 2 = 6。

4. 已知定义在$\mathbf{R}$上的偶函数$f(x)$在$(-\infty,0]$上单调递增，若$f(a) ＞ f(3)$，则实数$a$的取值范围是(-3,3).

答案： (-3,3) 由题意可知|a|＜3，解得 - 3＜a＜3。