《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【例 1】求下列各式的值。
(1) $ \ln e^2 $；(2) $ \log_3 e + \log_3 \frac{3}{e} $；(3) $ \lg 50 - \lg 5 $。

答案： 解
(1)$\ln e^{2}=2\ln e = 2$.
(2)$\log_{3}e+\log_{3}\frac{3}{e}=\log_{3}(e·\frac{3}{e})=\log_{3}3 = 1$.
(3)$\lg50 - \lg5=\lg\frac{50}{5}=\lg10 = 1$.

【跟踪训练 1】求下列各式的值：
(1) $ \log_3 (27 × 9^2) $；(2) $ \lg 5 + \lg 2 $；
(3) $ \ln 3 + \ln \frac{1}{3} $；(4) $ \log_3 5 - \log_3 15 $。

答案： 解
(1)方法一$\log_{3}(27×9^{2})=\log_{3}27+\log_{3}9^{2}=\log_{3}3^{3}+\log_{3}3^{4}=3 + 4 = 7$.
方法二$\log_{3}(27×9^{2})=\log_{3}(3^{3}×3^{4})=\log_{3}3^{7}=7\log_{3}3 = 7$.
(2)$\lg5+\lg2=\lg(5×2)=\lg10 = 1$.
(3)$\ln3+\ln\frac{1}{3}=\ln(3×\frac{1}{3})=\ln1 = 0$.
(4)$\log_{3}5-\log_{3}15=\log_{3}\frac{5}{15}=\log_{3}\frac{1}{3}=\log_{3}3^{-1}=-1$.

【例 2】已知 $ \lg 2 = a $，$ \lg 3 = b $，则 $ \lg \frac{12}{5} = $ $b + 3a - 1$。

答案： 解$b + 3a - 1\lg\frac{12}{5}=\lg12-\lg5=\lg(3×2^{2})-(1 - \lg2)=\lg3 + 2\lg2 - 1 + \lg2=\lg3 + 3\lg2 - 1=b + 3a - 1$.

【跟踪训练 2】用 $ \lg x $，$ \lg y $，$ \lg z $ 表示下列各式：
(1) $ \lg (xyz) $；(2) $ \lg \frac{xy^2}{z} $；
(3) $ \lg \frac{xy^3}{\sqrt{z}} $；(4) $ \lg \frac{\sqrt{x}}{y^2 z} $。

答案： 解
(1)$\lg(xyz)=\lg x+\lg y+\lg z$.
(2)$\lg\frac{xy^{2}}{z}=\lg(xy^{2})-\lg z=\lg x+\lg y^{2}-\lg z=\lg x + 2\lg y-\lg z$.
(3)$\lg\frac{xy^{3}}{\sqrt{z}}=\lg(xy^{3})-\lg\sqrt{z}=\lg x+\lg y^{3}-\lg z^{\frac{1}{2}}=\lg x + 3\lg y-\frac{1}{2}\lg z$.
(4)$\lg\frac{\sqrt{x}}{y^{2}z}=\lg\sqrt{x}-\lg(y^{2}z)=\lg x^{\frac{1}{2}}-(\lg y^{2}+\lg z)=\frac{1}{2}\lg x - 2\lg y-\lg z$.